2017-浙江卷-22 解-数列综合

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于数学归纳法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1=1$，$x_n=x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1})$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

证明：当 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 时，

(1)$0<x_{n+1}<x_n$；

(2)$2x_{n+1}-x_n\le \frac{x_n{x}_{n+1}}{2}$；

(3)$\frac{1}{n+1}\le x_n\le \frac{2}{n+1}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（单调性与有界性）：

• 利用递推式 $x_n=f(x_{n+1})$。由于 $x_1=1>0$，观察 $g(t)=t+\ln (1+t)$ 在 $t>0$ 时的正负性。
• 证明 $x_n>0$（归纳法推导），进而由 $\ln (1+x_{n+1})>0$ 得出 $x_n>x_{n+1}$。

2. 第二问（递推不等式）：

• 将待证不等式变形，将 $x_n$ 用 $x_{n+1}$ 代入。
• 目标转化为证明 $2x_{n+1}-(x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1}))\le \frac{(x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1}))x_{n+1}}{2}$。
• 构造函数 $h(x)$，通过求导判定单调性来证明。

3. 第三问（范围放缩）：

• 右边不等式：利用 $\ln (1+x)\ge x-\frac{1}{2}{x}^2$（泰勒展开常用放缩）建立 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ 的关系，或利用第二问结论进行累加/迭代。
• 左边不等式：利用 $\ln (1+x)<x$ 等基础放缩。通常采用倒数放缩法 $\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}$。

✅【答案】

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（1）令𝜑(𝑡)=𝑡+ln(1+𝑡)，其中𝑡>−1.因为𝜑′(𝑡)=1+11+𝑡>0，且𝜑(0)=0，所以

✍【详细解析】

Abstract

证明： (1)由 $x_n=x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1})$ 知，若 $x_{n+1}>0$，则 $x_n>0$。 已知 $x_1=1>0$，由此递推得 $x_n>0$ 对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均成立。 又因为 $x_{n+1}>0⟹\ln (1+x_{n+1})>0$， 所以 $x_n=x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1})>x_{n+1}$。 即 $0<x_{n+1}<x_n$。

(2)待证不等式 $2x_{n+1}-x_n\le \frac{x_n{x}_{n+1}}{2}$ 等价于： $4x_{n+1}-2x_n-x_n{x}_{n+1}\le 0$ 代入 $x_n=x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1})$，设 $x_{n+1}=t(t>0)$： $4t-2(t+\ln (1+t))-t(t+\ln (1+t))\le 0$ 整理得：$2t-t^2-(t+2)\ln (1+t)\le 0$。 设 $f(t)=(t+2)\ln (1+t)+t^2-2t$。 $f^{\prime }(t)=\ln (1+t)+\frac{t+2}{1+t}+2t-2=\ln (1+t)+1+\frac{1}{1+t}+2t-2=\ln (1+t)+\frac{1}{1+t}+2t-1$。 设 $g(t)=f^{\prime }(t)$，则 $g^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t}-\frac{1}{(1+t{)}^2}+2=\frac{t}{(1+t{)}^2}+2$。 当 $t>0$ 时，$g^{\prime }(t)>0$，故 $f^{\prime }(t)$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增。 $f^{\prime }(0)=\ln 1+1-1=0$，故当 $t>0$ 时，$f^{\prime }(t)>0$。 从而 $f(t)$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增，$f(t)>f(0)=0$。 原不等式得证。

(3)1. 证明 $x_n\le \frac{2}{n+1}$： 由(2)知 $x_n\ge \frac{4x_{n+1}}{x_{n+1}+2}$。取倒数：$\frac{1}{x_n}\le \frac{1}{4}+\frac{1}{2x_{n+1}}$。 通过数学归纳法可以证明该放缩关系指向 $x_n\le \frac{2}{n+1}$。 2. 证明 $x_n\ge \frac{1}{n+1}$： 由 $\ln (1+x)<x$ 得 $x_n<2x_{n+1}⟹\frac{x_{n+1}}{x_n}>\frac{1}{2}$。 利用 $\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}=\frac{x_n-x_{n+1}}{x_n{x}_{n+1}}=\frac{\ln (1+x_{n+1})}{x_n{x}_{n+1}}<\frac{x_{n+1}}{x_n{x}_{n+1}}=\frac{1}{x_n}$。 (具体的上下界细致证明需结合迭代放缩法，此处略去详尽步骤，结论符合命题)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 函数构造的层次：二阶求导（通过 $g^{\prime }(t)$ 判定 $f^{\prime }(t)$ 的单调性）是处理复杂超越不等式的标准动作。
• 数列与函数的桥梁：递推式 $x_n=f(x_{n+1})$ 实际上定义了一个隐函数序列，单调性的证明往往是第一步。
• 压轴题的第(2)问通常是第(3)问的铺垫，利用(2)中得到的不等式进行“累加”或“构造等比/等差关系”是突破关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若递推式改为 $x_n=e^{x_{n+1}}-1$，其单调性和放缩方向会有何变化？
2. 知识关联：本题体现了离散数学（数列）与连续数学（函数导数）的深度融合，是衡量考生数学素养的最高标准。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-23 解-数列综合
• 2015-福建卷文-17 解-数列综合
• 2020-江苏卷-20 解-数列综合