2018-上海卷-08 填-向量坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及向量数量积的定义。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）在平面直角坐标系中，已知点 $A(-1,0)$，$B(2,0)$，$E,F$ 是 $y$ 轴上的两个动点，且 $|\overrightarrow{EF}|=2$，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BF}$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标设点：设 $E(0,a)$，$F(0,b)$。由于 $E,F$ 在 $y$ 轴上，横坐标均为 0。

2. 约束条件转化：$|\overrightarrow{EF}|=2$ 意味着 $|a-b|=2$。可以令 $a=b+2$ 或 $b=a+2$。

3. 向量表示：

   • $\overrightarrow{AE}=(0-(-1),a-0)=(1,a)$

   • $\overrightarrow{BF}=(0-2,b-0)=(-2,b)$

4. 数量积建模：计算 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BF}=1\times (-2)+a\times b=ab-2$。

5. 求最值：将 $a=b+2$ 代入数量积公式，得到关于 $b$ 的二次函数，利用对称轴求最小值。

✅【答案】

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-3

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 -3

【解析过程】

设 $E(0,a),F(0,b)$。

由 $|\overrightarrow{EF}|=|a-b|=2$，得 $a=b+2$（或 $b=a+2$，对称性结论一致）。

已知 $A(-1,0),B(2,0)$，则：

$\overrightarrow{AE}=(1,a)$，$\overrightarrow{BF}=(-2,b)$。

所以 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BF}=1\times (-2)+a\times b=ab-2$。

将 $a=b+2$ 代入上式：

$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BF}=(b+2)b-2=b^2+2b-2$。

这是一个关于 $b$ 的二次函数，开口向上，其对称轴为 $b=-\frac{2}{2\times 1}=-1$。

当 $b=-1$ 时，$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BF}$ 取得最小值：

$(-1{)}^2+2(-1)-2=1-2-2=-3$。

故答案为：-3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标法的优势：对于涉及垂直、坐标轴动点的问题，坐标法能迅速将几何关系转化为代数运算，是上海卷填空题的中段首选。

2. 整体思想：本题核心是 $ab-2$ 的最值。由于 $(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab=4$，其实也可以利用基本不等式或换元法来思考，但直接代入二次函数最简单直接。

📖【试题探源与推广】

Tip

向量最值问题的常见套路：

1. 坐标化：如本题，适用于背景在坐标系内或有垂直关系的情况。

2. 几何化（投影）：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta$，利用投影的几何意义寻找极值位置。

3. 基底法：选定两个基底向量，将动向量分解，转化为基底的运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算