2018-上海卷-09 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及组合数公式。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个.从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 $\underline{}$（结果用最简分数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求样本总数：从 5 个砝码中任取 3 个，总取法数为 $C_5^3$。
2. 枚举和为 9 克的组合：逐一检查哪些三砝码组合总质量为 9 克（注意两个 2 克砝码编号不同，但质量相同）。
3. 求概率：符合条件取法数除以总取法数，并化为最简分数。

✅【答案】

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$\frac{1}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

五个砝码质量为 $5,3,1,2,2$，从中任取 3 个，总取法数为 $C_5^3=10$。

总质量为 9 克的组合有：$5+3+1=9$，$5+2+2=9$，共 2 种。

故所求概率为 $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 等可能性的前提：虽然两个 2 克砝码质量相同，但编号不同，抽到它们的组合应分别计数，因此仍按组合数 $C_5^3$ 计总数。
2. 化为最简分数：题目要求结果用最简分数表示，勿忘记约分。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是古典概型中”枚举计数 + 组合数”的典型题。推广：若砝码质量重复，仍按”编号不同”计等可能基本事件，切勿按”质量类别”误算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-11 填-古典概型
• 2014-江西卷理-13 填-古典概型
• 2014-陕西卷理-06 单-古典概型