2018-全国卷I文-10 单-几何体性质

本题导读

本题考查长方体的几何性质，以及直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=BC=2$, $A{C}_1$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成的角为 $30^{\circ }$, 则该长方体的体积为 ()

A. $8$　　　　　　　B. $6\sqrt{2}$　　　　　　　C. $8\sqrt{2}$　　　　　　　D. $8\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 根据长方体的性质，点 $A$ 在平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 上的投影为点 $B$，因此斜线 $A{C}_1$ 在平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 上的射影为 $B{C}_1$，从而 $\angle A{C}_{1}B=30^{\circ }$。
2. 在直角三角形 $AB{C}_1$ 中求出 $B{C}_1$ 的长度，再结合底面边长求出长方体的高。
3. 利用长方体体积公式计算最终体积。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$， 故 $A{C}_1$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成的角为 $\angle A{C}_{1}B=30^{\circ }$。 在 Rt$△AB{C}_1$ 中，$AB=2$，$\tan 30^{\circ }=\frac{AB}{B{C}_1}⟹\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{B{C}_1}⟹B{C}_1=2\sqrt{3}$。 在 Rt$△B{B}_1{C}_1$ 中，$B_1{C}_1=BC=2$，设长方体的高为 $h=B{B}_1$， 由勾股定理得 $B{C}_1^2=B_1{C}_1^2+h^2⟹(2\sqrt{3}{)}^2=2^2+h^2⟹12=4+h^2⟹h^2=8⟹h=2\sqrt{2}$。 长方体的体积为： $V=AB\cdot BC\cdot h=2\times 2\times 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角的定义与计算、长方体体积。
2. 核心方法：寻找斜线在平面上的射影。
3. 避坑指南：准确识别长方体中的垂直关系与投影点位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何常规计算题。
2. 结论推广: 求线面角的一般步骤为“找射影、定夹角、解三角形”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2008-福建卷理-06
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行