2018-全国卷I文-11 单-三角函数定义

本题导读

本题考查三角函数的定义，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）已知角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边上有两点 $A(1,a),B(2,b)$，且 $\cos 2\alpha =\frac{2}{3}$，则 $|a-b|=$ ()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据三角函数定义，由点 $A(1,a)$ 和 $B(2,b)$ 在终边上可得 $a=\tan \alpha$, $b=2\tan \alpha$。
2. 将 $|a-b|$ 化简为与 $\tan \alpha$ 相关的表达式。
3. 利用二倍角公式将 $\cos 2\alpha =\frac{2}{3}$ 转化为关于 ${\tan }^2\alpha$ 的方程求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由三角函数定义可知：$\tan \alpha =\frac{a}{1}=a$，且 $\tan \alpha =\frac{b}{2}⟹b=2\tan \alpha$。 因此 $|a-b|=|\tan \alpha -2\tan \alpha |=|-\tan \alpha |=|\tan \alpha |$。 已知 $\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{2}{3}$， 设 $t={\tan }^2\alpha$，则： $\frac{1-t}{1+t}=\frac{2}{3}⟹3(1-t)=2(1+t)⟹5t=1⟹t=\frac{1}{5}$ 即 ${\tan }^2\alpha =\frac{1}{5}⟹|\tan \alpha |=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 故 $|a-b|=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数定义、二倍角公式变形。
2. 核心方法：弦切互化与整体代换。
3. 避坑指南：熟练掌握 $\cos 2\alpha$ 用正切表示的公式，简化运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数恒等变换经典题。
2. 结论推广: $\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$ 是解决角终边上点坐标与二倍角关系的重要桥梁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-02(2)
• 2002-苏豫粤卷-01 单-三角函数的最小正周期
• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦