2018-全国卷I文-20 解-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线的定义与方程。核心在于待定系数法、坐标法与斜率和为零证明的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）设抛物线 $C:y^2=2x$, 点 $A(2,0),B(-2,0)$, 过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M,N$ 两点.

(1) 当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时, 求直线 $BM$ 的方程;

(2) 证明: $\angle ABM=\angle ABN$.

🔍【思路分析】

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1. 根据 $l$ 与 $x$ 轴垂直且过 $A(2,0)$ 写出直线方程 $x=2$，代入抛物线求出点 $M$ 坐标，再利用两点式求直线 $BM$ 方程。
2. 设过点 $A(2,0)$ 的直线 $l$ 方程（注意斜率存在与否），与抛物线方程联立，利用韦达定理，通过证明直线 $BM$ 与 $BN$ 的斜率互为相反数（或满足特定夹角关系）来证明 $\angle ABM=\angle ABN$.

✅【答案】

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(1) $x-2y+2=0$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，因为 $l$ 过点 $A(2,0)$，所以直线 $l$ 的方程为 $x=2$. 将 $x=2$ 代入抛物线方程 $y^2=2x$ 得 $y^2=4$，解得 $y=\pm 2$. 不妨设点 $M(2,2)$（或 $(2,-2)$）。 已知点 $B(-2,0)$，则直线 $BM$ 经过点 $B(-2,0)$ 和 $M(2,2)$. 由两点式求直线方程： $\frac{y-0}{2-0}=\frac{x-(-2)}{2-(-2)}⟹\frac{y}{2}=\frac{x+2}{4}⟹2y=x+2⟹x-2y+2=0$ 直线 $BM$ 的方程为 $x-2y+2=0$（或 $y=\frac{1}{2}x+1$）。

(2) 证明：当直线 $l$ 的斜率为 $0$ 时，直线 $l$ 为 $x$ 轴，与抛物线交于原点及自身重合不合题意，故斜率存在且不为 $0$. 设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$（$k\ne 0$）. 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$， 联立 $\{\begin{array}{l}y=k(x-2),\\ y^2=2x,\end{array}$ 得： $y^2=2\left(\frac{y}{k}+2\right)⟹k{y}^2-2y-4k=0$ 由根与系数的关系得： $y_1+y_2=\frac{2}{k},y_1{y}_2=-4$ 直线 $BM$ 的斜率为 $k_{BM}=\frac{y_1-0}{x_1-(-2)}=\frac{y_1}{x_1+2}$。 因为 $x_1=\frac{y_1^2}{2}$，所以： $k_{BM}=\frac{y_1}{\frac{y_1^2}{2}+2}=\frac{2y_1}{y_1^2+4}$ 同理，直线 $BN$ 的斜率为： $k_{BN}=\frac{2y_2}{y_2^2+4}$ 计算两斜率之和 $k_{BM}+k_{BN}$： $k_{BM}+k_{BN}=\frac{2y_1}{y_1^2+4}+\frac{2y_2}{y_2^2+4}=\frac{2y_1(y_2^2+4)+2y_2(y_1^2+4)}{(y_1^2+4)(y_2^2+4)}$ $\text{分子}=2y_1{y}_2^2+8y_1+2y_2{y}_1^2+8y_2=2y_1{y}_2(y_1+y_2)+8(y_1+y_2)$ 将 $y_1{y}_2=-4$ 及 $y_1+y_2=\frac{2}{k}$ 代入： $\text{分子}=2(-4)\left(\frac{2}{k}\right)+8\left(\frac{2}{k}\right)=-\frac{16}{k}+\frac{16}{k}=0$ 因此 $k_{BM}+k_{BN}=0⟹k_{BM}=-k_{BN}$. 因为点 $B(-2,0)$ 到直线 $l$ 上的点 $M,N$ 的连线与 $x$ 轴（即直线 $AB$）的夹角满足斜率互为相反数，且点 $M,N$ 分别位于 $x$ 轴两侧， 所以 $\angle ABM=\angle ABN$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线方程、直线与抛物线联立、斜率互为相反数与角平分线。
2. 核心方法：设直线方程联立，利用韦达定理证明斜率和为零。
3. 避坑指南：证明角相等时，通过证明斜率互为相反数（$k_1+k_2=0$）是最常规且高效的代数转化方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线光学性质或经典定角/角平分线问题。
2. 结论推广: 抛物线中过焦点或定点的弦常具有优美的对称与斜率关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-福建卷理-18 解-抛物线的标准方程与定义
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义