2018-全国卷II理-09 单-空间直角坐标系

本题导读

本题考查空间直角坐标系，以及异面直线所成的角。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=BC=1$，$A{A}_1=\sqrt{3}$，则异面直线 $A{D}_1$ 与 $D{B}_1$ 所成角的余弦值为()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{6}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：由于图形是长方体且底面为正方形，三条棱 $DA,DC,D{D}_1$ 两两垂直，适合以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系。

2. 写坐标：根据题目给出的边长 $AB=1,BC=1,A{A}_1=\sqrt{3}$，写出相关顶点的坐标。

3. 算向量：求出向量 $\overrightarrow{A{D}_1}$ 和 $\overrightarrow{D{B}_1}$ 的坐标。

4. 求夹角：利用向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$ 计算。注意异面直线所成角的范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]$，结果取绝对值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

由题意 $AB=BC=1$（即 $DA=DC=1$），$A{A}_1=\sqrt{3}$（即 $D{D}_1=\sqrt{3}$），各点坐标为：

• $D(0,0,0)$

• $A(1,0,0)$

• $D_1(0,0,\sqrt{3})$

• $B_1(1,1,\sqrt{3})$

求向量坐标：

• $\overrightarrow{A{D}_1}=(0-1,0-0,\sqrt{3}-0)=(-1,0,\sqrt{3})$

• $\overrightarrow{D{B}_1}=(1-0,1-0,\sqrt{3}-0)=(1,1,\sqrt{3})$

计算向量的数量积与模：

• $\overrightarrow{A{D}_1}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}=(-1)\times 1+0\times 1+\sqrt{3}\times \sqrt{3}=-1+0+3=2$

• $|\overrightarrow{A{D}_1}|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2$

• $|\overrightarrow{D{B}_1}|=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+1+3}=\sqrt{5}$

计算夹角余弦值：

$\cos ⟨\overrightarrow{A{D}_1},\overrightarrow{D{B}_1}⟩=\frac{\overrightarrow{A{D}_1}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}}{|\overrightarrow{A{D}_1}|\cdot |\overrightarrow{D{B}_1}|}=\frac{2}{2\times \sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

由于 $\frac{\sqrt{5}}{5}>0$，向量夹角即为直线所成角。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 建系点的选择：长方体中通常选择底面一个顶点作为原点，这样大部分坐标都是正数且含有较多零，计算最简便。

2. 异面直线角的范围：直线夹角 $\in [0,\pi /2]$，而向量夹角 $\in [0,\pi ]$。如果算出向量余弦值为负，最终答案要取绝对值。

3. 计算核查：在写向量坐标时，注意“终点坐标减起点坐标”的顺序。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充这种不建系的思路：

• 平移 $A{D}_1$ 到 $B{C}_1$。

• 将问题转化为求 $△DB{C}_1$ 中 $\angle DB{C}_1$ 或其补角的余弦值。

• 计算三边：$DB=\sqrt{2}$, $B{C}_1=2$, $D{C}_1=\sqrt{1+3}=2$。

• 使用余弦定理：$\cos \angle DB{C}_1=\frac{(\sqrt{2}{)}^2+2^2-2^2}{2\times \sqrt{2}\times 2}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。

• 注意：本题中 $D$ 到 $B_1$ 的连线与平移后的位置关系略复杂，建系法明显更具抗干扰能力。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷理-08 单-空间直角坐标系的建立

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行