2018-全国卷II理-23 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于零点分段法、最值转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）设函数 $f(x)=5-|x+a|-|x-2|$.

(1) 当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)\ge 0$ 的解集；

(2) 若 $f(x)\le 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（解不等式）：

• 代入 $a=1$，得 $f(x)=5-|x+1|-|x-2|$。
• 不等式 $f(x)\ge 0$ 即 $|x+1|+|x-2|\le 5$。
• 零点分段：找到绝对值的零点 $x=-1$ 和 $x=2$，分三段讨论并去绝对值。
• 几何法（备选）：数轴上到 $-1$ 和 $2$ 距离之和不超过 5 的点。

2. 第二问（恒成立问题）：

• 转化不等式：$5-|x+a|-|x-2|\le 1⟺|x+a|+|x-2|\ge 4$。
• 寻找最小值：要使上述不等式对所有 $x$ 恒成立，只需左侧表达式的最小值 $\ge 4$。
• 应用三角不等式：根据 $|x+a|+|2-x|\ge |(x+a)+(2-x)|=|a+2|$。
• 建立关系：左侧最小值为 $|a+2|$，故令 $|a+2|\ge 4$ 求解即可。

✅【答案】

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(1) $[-2,3]$

(2) $(-\infty ,-6]\cup [2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 当 $a=1$ 时，$f(x)\ge 0⟺|x+1|+|x-2|\le 5$。

• 当 $x<-1$ 时，$-(x+1)-(x-2)\le 5⟹-2x+1\le 5⟹x\ge -2$。 此时解集为 $[-2,-1)$；
• 当 $-1\le x\le 2$ 时，$(x+1)-(x-2)\le 5⟹3\le 5$ 恒成立。 此时解集为 $[-1,2]$；
• 当 $x>2$ 时，$(x+1)+(x-2)\le 5⟹2x-1\le 5⟹x\le 3$。 此时解集为 $(2,3]$。 综上所述，不等式 $f(x)\ge 0$ 的解集为 $[-2,3]$。

(2)解： $f(x)\le 1⟺5-|x+a|-|x-2|\le 1⟺|x+a|+|x-2|\ge 4$。 设 $g(x)=|x+a|+|x-2|$。 根据绝对值三角不等式： $g(x)=|x+a|+|2-x|\ge |(x+a)+(2-x)|=|a+2|$ 要使 $g(x)\ge 4$ 恒成立，只需 $g(x)$ 的最小值不小于 4，即： $|a+2|\ge 4$ 解得 $a+2\ge 4$ 或 $a+2\le -4$。 即 $a\ge 2$ 或 $a\le -6$。 所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-6]\cup [2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 绝对值的几何意义：$|x-x_1|+|x-x_2|$ 在几何上表示数轴上点 $x$ 到 $x_1,x_2$ 的距离之和。其最小值出现在区间 $[x_1,x_2]$ 上，最小值为两定点间的距离 $|x_1-x_2|$。
2. 恒成立题型的转化：“$A(x)\ge k$ 恒成立”等价于“$A(x{)}_{min}\ge k$”。
3. 计算简化：第二问如果依然用分段讨论会非常繁琐，识别出三角不等式模型是解题的分水岭。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累：

• 函数模型：$y=|x-a|+|x-b|$ 的图象呈“梯形杯”状，底部的 $y$ 值恒定，即为 $|a-b|$。
• 关联结论：$y=|x-a|-|x-b|$ 的图象呈“Z”字型，值域为 $[-|a-b|,|a-b|]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁理-24
• 2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式
• 2022-浙江卷-09 单-绝对值不等式