2018-全国卷III理-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的乘法运算，以及虚数单位的性质。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）$(1+i)(2-i)=$()

A. $1-i$　　　　　　B. $1+i$　　　　　　C. $3-i$　　　　　　D. $3+i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直接展开：利用多项式乘法的分配律，将 $(1+i)(2-i)$ 逐项相乘。

• $(1+i)(2-i)=1\times 2-1\times i+i\times 2-i\times i$

2. 化简虚数项：合并含 $i$ 的同类项。

• $-i+2i=i$

3. 处理 $i^2$：利用 $i^2=-1$ 的性质。

• $-i^2=-(-1)=1$

4. 合并实部：将常数项相加得出最终结果。

• $2+1=3$

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 $(1+i)(2-i)=2-i+2i-i^2$ $=2+i-(-1)$ $=2+i+1$ $=3+i$

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 运算规律：复数的乘法遵循交换律、结合律和分配律。设 $z_1=a+bi,z_2=c+di$，则 $z_1{z}_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$。
2. 符号陷阱：$-i^2$ 是复数运算中最容易出错的地方。记住：看到 $i^2$ 就要变号（$-i^2\to +1$，$+i^2\to -1$）。
3. 复数的概念延伸：如果题目要求求该复数的模 $|z|$，则结果为 $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个直观理解：

• 复数 $z=a+bi$ 对应复平面上的点 $(a,b)$。
• 复数乘法在几何上对应着模长相乘、幅角相加。
• 本题中 $1+i$ 的幅角为 $45^{\circ }$，而 $2-i$ 位于第四象限，相乘后的结果 $3+i$ 旋转到了第一象限且模长增大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-01 单-复数的乘方运算
• 2008-四川卷理-02
• 2021-新高考II卷-01 单-复数运算