2021-新高考II卷-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的乘法运算，以及复数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）复数 $(1-\text{i})(2+\text{i})$ 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）

A. 第一象限$B.第二象限$　　　C. 第三象限$D.第四象限$

🔍【思路分析】

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1. 复数乘法展开：利用多项式乘法的分配律，直接展开 $(1-\text{i})(2+\text{i})$。
2. 化简合并：利用虚数单位的核心性质 ${\text{i}}^2=-1$，将展开式整理成实部与虚部相分离的标准形式 $z=a+b\text{i}$。
3. 象限判定：根据实部 $a$ 和虚部 $b$ 的正负号，对照直角坐标系四个象限的符号特征得出结论。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：执行复数乘法运算 直接利用分配律展开： $(1-\text{i})(2+\text{i})=1\times 2+1\times \text{i}-\text{i}\times 2-\text{i}\times \text{i}$ $=2+\text{i}-2\text{i}-{\text{i}}^2$

第二步：利用 $i^2=-1$ 进行化简 将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入上式： $=2-\text{i}-(-1)$ $=2-\text{i}+1$ $=3-\text{i}$

第三步：判定坐标与象限 化简后的复数为 $z=3-\text{i}$。 该复数在复平面内对应的点坐标为 $(3,-1)$。 观察坐标符号：

• 实部 $x=3>0$（正）
• 虚部 $y=-1<0$（负） 根据象限符号分布：
• 第一象限：$(+,+)$
• 第二象限：$(-,+)$
• 第三象限：$(-,-)$
• 第四象限：$(+,-)$ 该点位于第四象限。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基础运算：复数的加、减、乘法与多项式运算逻辑一致，唯一的关键点在于最后一步将 $i^2$ 转化为 $-1$。
2. 几何对应关系：复数 $z=a+bi$ 与复平面内的点 $(a,b)$ 是一一对应的，其中 $x$ 轴代表实轴，$y$ 轴代表虚轴。
3. 避坑指南：

• 符号错误：在展开 $-\text{i}\times \text{i}$ 时，务必注意负号，即 $-{\text{i}}^2=-(-1)=+1$。这是该类送分题最容易丢分的地方。
• 坐标读数：虚部是 $i$ 前面的系数，例如 $-i$ 的虚部是 $-1$，而不是 $-i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以利用模与辐角的思想。$1-i$ 的辐角为 $-45^{\circ }$，$2+i$ 的辐角为正（约 $26.5^{\circ }$），相乘后辐角相加，结果约为 $-18.5^{\circ }$，处于第四象限。
• 变式思考：若题目要求求该复数的共轭复数 $\bar{z}$ 所在的象限，该如何处理？ (提示：$z=3-i⟹\bar{z}=3+i$，对应的点 $(3,1)$ 在第一象限。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2000-新课标理-02 单-复数的几何意义
• 2004-全国卷I理-01 单-复数的乘方运算
• 2008-四川卷理-02