2018-北京卷文-06 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体，以及空间线面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：由三视图还原四棱锥 $P-ABCD$，其底面 $ABCD$ 为长方形（非正方形），侧棱 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，顶点 $P$ 在底面的投影落在顶点 $A$ 处。
2. 判定侧面三角形：逐一检验四个侧面的直角情况，用向量内积为零判定直角（坐标法最稳妥）。
3. 注意坑点：底面是长方形而非正方形，因此”远离”垂直棱的侧面 $△PCD$ 不一定是直角三角形，必须逐一验证，不能想当然地套”正方形”结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 由三视图还原四棱锥 $P-ABCD$，底面 $ABCD$ 为长方形，侧棱 $PA\perp$ 平面 $ABCD$。可取坐标 $P(0,2,2)$，$A(0,2,0)$，$B(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$D(2,2,0)$。四个侧面为 $△PAB$、$△PBC$、$△PCD$、$△PDA$。

$\overrightarrow{PA}=(0,0,-2),\overrightarrow{AB}=(0,-2,0),\overrightarrow{AD}=(2,0,0)$

由 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{AD}=0$，知 $△PAB$、$△PDA$ 均为直角三角形。

又 $\overrightarrow{BP}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{BC}=(1,0,0)$，由 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，知 $△PBC$ 是直角三角形。

对于 $△PCD$，三个顶点处的相邻边向量内积分别为 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}=6$，$\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CD}=3$，$\overrightarrow{DP}\cdot \overrightarrow{DC}=2$，均不为 $0$，故 $△PCD$ 不是直角三角形。

因此四个侧面中直角三角形共有 $3$ 个，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 线面垂直是核心：一旦有一条侧棱垂直于底面，该棱相连的两个侧面必然是直角三角形。
2. 三垂线定理的应用：判定“远离”垂直棱的侧面是否为直角三角形，通常看底面边是否垂直于侧面。
3. 空间想象力：在草稿纸上画出一个透视草图，并标出已知的直角符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结这个快速还原法：

• 第一步：看俯视图定底面。底面是方、是圆还是三角？
• 第二步：看主左视图定高度。顶点在底面上的投影点在哪里？
• 投影在中心 $\to$ 正棱锥（侧面全是等腰三角形）。
• 投影在顶点 $\to$ 有一条侧棱垂直底面（侧面多直角三角形）。
• 投影在边上 $\to$ 有一个侧面垂直底面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-07 单-三视图表面积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积
• 2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体