2018-北京卷文-08 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划与不等式组，以及集合的包含关系。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）设集合 $A=\{(x,y)\mid x-y\ge 1,ax+y>4,x-ay\le 2\}$，则 ()

A. 对任意实数 $a$，$(2,1)\in A$

B. 对任意实数 $a$，$(2,1)\notin A$

C. 当且仅当 $a<0$ 时，$(2,1)\notin A$

D. 当且仅当 $a\le \frac{3}{2}$ 时，$(2,1)\notin A$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将点 $(2,1)$ 代入集合 $A$ 的三个不等式中，检验其成立的条件。
2. 第一个不等式：$2-1=1\ge 1$（恒成立）。
3. 第二个不等式：$2a+1>4⟹a>\frac{3}{2}$。
4. 第三个不等式：$2-a(1)\le 2⟹a\ge 0$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将点 $(2,1)$ 的坐标 $x=2,y=1$ 代入不等式组中：

1. $x-y\ge 1⟹2-1=1\ge 1$ 恒成立；
2. $ax+y>4⟹2a+1>4⟹a>\frac{3}{2}$；
3. $x-ay\le 2⟹2-a\le 2⟹a\ge 0$. 要使点 $(2,1)$ 属于集合 $A$，必须同时满足上述三个条件，即 $a>\frac{3}{2}$ 且 $a\ge 0$，也就是 $a>\frac{3}{2}$。 反之，当 $a\le \frac{3}{2}$ 时，点 $(2,1)$ 不满足不等式组，即 $(2,1)\notin A$. 故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点与集合的关系、不等式恒成立或条件满足。
2. 核心方法：直接代入法与交集逻辑。
3. 避坑指南：注意“当且仅当”逻辑推理的严密性，所有不等式必须同时满足。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划与不等式基础题。
2. 结论推广: 熟练掌握点在平面区域内的坐标代入判定法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-03 单-集合包含与充要条件
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2013-新课标II卷理-09 单-线性规划