2018-北京卷理-04 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的定义，以及等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[12]{2}$.若第一个单音的频率为 $f$，则第八个单音的频率为()

A. $\sqrt[3]{2}f$　　　　B. $\sqrt[3]{2^2}f$　　　　C. $\sqrt[12]{2^5}f$　　　　D. $\sqrt[12]{2^7}f$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立数学模型： 由“每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[12]{2}$”可知，这些单音的频率组成一个等比数列 $\{a_n\}$。
2. 确定数列参数：

• 首项 $a_1=f$。
• 公比 $q=\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}$。

3. 求指定项： 题目要求第 8 个单音的频率，即求 $a_8$。根据通项公式 $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ 计算即可。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 设这十三个单音的频率依次为 $a_1,a_2,\dots ,a_{13}$。 由题意，该数列是等比数列，其中：

• $a_1=f$
• $q=\sqrt[12]{2}$

我们要找第八个单音 $a_8$： $a_8=a_1\cdot q^{8-1}=a_1\cdot q^7$ 将参数代入： $a_8=f\cdot (\sqrt[12]{2}{)}^7$ 根据根式的性质 $(\sqrt[n]{x}{)}^m=\sqrt[n]{x^m}$： $a_8=\sqrt[12]{2^7}f$

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 项数陷阱：这类题最容易出错的地方是 $n-1$。记住：求第 8 项，公比要乘 7 次。
2. 根式与指数转化：在计算过程中，熟练掌握 $2^{\frac{7}{12}}=\sqrt[12]{2^7}$ 的转化。
3. 文化背景：朱载堉（明代皇族）是世界上首位精确计算出 $\sqrt[12]{2}\approx 1.059463$ 的人，这比欧洲的类似研究早了几十年。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便复习其他常见的等比数列模型：

• 复利计算：$M=P(1+r{)}^n$（利滚利）。
• 放射性元素衰变：$N=N_0(\frac{1}{2}{)}^{\frac{t}{T}}$（半衰期模型）。
• 折旧/增产问题：每年增长（或减少）固定比例 $r$，第 $n$ 年的值为 $a_1(1\pm r{)}^{n-1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2013-大纲卷理-06 单-等比数列定义与公比