2018-北京卷理-10 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的转化，以及圆的极坐标方程与标准方程。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）在极坐标系中，直线 $\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =a(a>0)$ 与圆 $\rho =2\cos \theta$ 相切，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转换坐标系：利用转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$。
2. 化简直线方程：直接代入公式即可。
3. 化简圆方程：方程两边同乘以 $\rho$，得到 ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$，再转化为直角坐标方程并配方，确定圆心和半径。
4. 利用相切条件：直线与圆相切 $⟺$ 圆心到直线的距离 $d$ 等于半径 $r$。

✅【答案】

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$1+\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $1+\sqrt{2}$

【解析过程】

第一步：转化直线方程 由 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，直线 $\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =a$ 转化为直角坐标方程为： $x+y-a=0$

第二步：转化圆方程 圆方程 $\rho =2\cos \theta$ 两边同乘以 $\rho$ 得： ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$ 转化为直角坐标方程： $x^2+y^2=2x⟹x^2-2x+y^2=0$ 配方得： $(x-1{)}^2+y^2=1$ 可知圆心为 $C(1,0)$，半径 $r=1$。

第三步：建立 $a$ 的方程 因为直线与圆相切，所以圆心 $C(1,0)$ 到直线 $x+y-a=0$ 的距离 $d=r=1$。 根据点到直线距离公式： $d=\frac{|1+0-a|}{\sqrt{1^2+1^2}}=1$ $\frac{|1-a|}{\sqrt{2}}=1⟹|1-a|=\sqrt{2}$ 由于 $a>0$，解得： $1-a=\sqrt{2}$（此时 $a=1-\sqrt{2}<0$，舍去） 或 $1-a=-\sqrt{2}$（此时 $a=1+\sqrt{2}$，符合题意）

故填入：$1+\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 转换技巧：看到 $\rho$ 和 $\cos \theta$、$\sin \theta$ 混搭，第一时间想到的就是 $x$ 和 $y$。对于 $\rho =2\cos \theta$ 这种形式，两边同乘 $\rho$ 是最标准的动作。
2. 几何意义：圆 $\rho =2\cos \theta$ 表示的是一个经过原点、圆心在极轴上的圆。
3. 参数范围：题目给出了 $a>0$，在最后去绝对值时一定要注意筛选。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下常用结论：

• $\rho =2R\cos \theta$：圆心在 $(R,0)$，半径为 $R$ 的圆。
• $\rho =2R\sin \theta$：圆心在 $(0,R)$，半径为 $R$ 的圆。
• $\theta =\alpha$：过极点的直线。
• $\rho \cos (\theta -\alpha )=d$：不穿过极点的直线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理