2018-北京卷理-17 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于计算法、比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1

(1) 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(2) 从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；

(3) 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率 $p_k$ 相等.记 ${\xi }_k$ 为第 $k$ 类电影是否得到人们喜欢的随机变量（$k=1,2,3,4,5,6$），其中 ${\xi }_k=1$ 表示喜欢，${\xi }_k=0$ 表示不喜欢.写出方差 $D{\xi }_1,D{\xi }_2,D{\xi }_3,D{\xi }_4,D{\xi }_5,D{\xi }_6$ 的大小关系.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（古典概型）：

• 总部数 $N=140+50+300+200+800+510=2000$。
• 第四类好评部数 $n_4=200\times 0.25=50$。
• 概率 $P=\frac{n_4}{N}$。

2. 第二问（独立事件）：

• 设 $A$ 为第四类好评，$B$ 为第五类好评。$P(A)=0.25,P(B)=0.2$。
• “恰有1部好评”包含两种情况：$A\bar{B}$（第四类好评，第五类不好评）或 $\bar{A}B$（第四类不好评，第五类好评）。
• $P=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B)$。

3. 第三问（方差比较）：

• ${\xi }_k$ 服从两点分布（0-1分布），概率为 $p_k$。
• 方差公式 $D{\xi }_k=p_k(1-p_k)$。
• 函数 $f(p)=p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 时取得最大值，且在 $[0,0.5]$ 上单调递增。
• 通过比较各组 $p_k$ 与 $0.5$ 的距离即可排序。

✅【答案】

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(1) $0.025$

(2) $0.35$

(3) $D({\xi }_6)<D({\xi }_3)<D({\xi }_2)=D({\xi }_5)<D({\xi }_4)<D({\xi }_1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由题意，样本中电影的总部数 $N=140+50+300+200+800+510=2000$。 其中第四类电影中获得好评的部数为 $200\times 0.25=50$。 故随机选取 1 部，是获得好评的第四类电影的概率 $P=\frac{50}{2000}=\frac{1}{40}$（或 $0.025$）。

(2)解： 记事件 $A$ 为“选取的第四类电影获得好评”，事件 $B$ 为“选取的第五类电影获得好评”。 由题意知 $P(A)=0.25$，$P(B)=0.2$。 恰有 1 部获得好评的事件为 $A\bar{B}\cup \bar{A}B$。 由于各电影是否好评相互独立，则所求概率为： $P=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B)$ $P=0.25\times (1-0.2)+(1-0.25)\times 0.2$ $P=0.25\times 0.8+0.75\times 0.2=0.2+0.15=0.35$。 故恰有 1 部获得好评的概率估计为 $0.35$。

(3)解： 由于 ${\xi }_k$ 服从两点分布，其方差 $D{\xi }_k=p_k(1-p_k)$。 各类的 $p_k$ 分别为：$0.4,0.2,0.15,0.25,0.2,0.1$。 计算 $p_k(1-p_k)$ 的值：

• $D{\xi }_1=0.4\times 0.6=0.24$
• $D{\xi }_4=0.25\times 0.75=0.1875$
• $D{\xi }_2=D{\xi }_5=0.2\times 0.8=0.16$
• $D{\xi }_3=0.15\times 0.85=0.1275$
• $D{\xi }_6=0.1\times 0.9=0.09$ 故大小关系为：$D{\xi }_1>D{\xi }_4>D{\xi }_2=D{\xi }_5>D{\xi }_3>D{\xi }_6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 概率的独立性：第二问中明确提到“相互独立”，这是使用概率加法公式和乘法公式的前提。
2. 两点分布方差的规律：

• 当 $p$ 越接近 $0.5$，方差（波动性）越大。
• 当 $p$ 越接近 $0$ 或 $1$，结果越确定，方差越小。 在北京卷中，这种结论性规律经常被用来进行快速定性分析。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理：

• 均值（期望）：$E\xi =p$。
• 方差：$D\xi =p(1-p)$。
• 记忆点：两点分布的方差图象是一条开口向下的抛物线，顶点坐标为 $(0.5,0.25)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷理-10
• 2013-辽宁卷理-19 解-古典概型的概率计算
• 2013-陕西卷理-19 解-古典概型