2018-天津卷文-19 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法、联立方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A$，上顶点为 $B$. 已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，$|AB|=\sqrt{13}$.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设直线 $l:y=kx(k<0)$ 与椭圆交于 $P,Q$ 两点，$l$ 与直线 $AB$ 交于点 $M$，且点 $P,M$ 均在第四象限. 若 $△BPM$ 的面积是 $△BPQ$ 面积的 $2$ 倍，求 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据椭圆的右顶点 $A(a,0)$、上顶点 $B(0,b)$ 及离心率 $e=\frac{c}{a}$、线段长度 $|AB|$ 建立关于 $a,b,c$ 的方程组，求出椭圆方程。
2. 写出直线 $AB$ 的方程，与直线 $l:y=kx$ 联立求出点 $M$ 的坐标。
3. 将直线 $l$ 与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出 $P,Q$ 的坐标。
4. 利用三角形面积比（或同底三角形的高之比）列出关于 $k$ 的方程，结合点在第四象限的条件求解 $k$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

(2) $k=-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 椭圆的右顶点为 $A(a,0)$，上顶点为 $B(0,b)$。 由 $|AB|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{13}$，可得 $a^2+b^2=13$。 又离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，即 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{5}{9}$， 因为 $c^2=a^2-b^2$，所以 $\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{5}{9}⟹9a^2-9b^2=5a^2⟹4a^2=9b^2$，即 $a^2=\frac{9}{4}{b}^2$。 代入 $a^2+b^2=13$ 得： $\frac{9}{4}{b}^2+b^2=13⟹\frac{13}{4}{b}^2=13⟹b^2=4$ 从而 $a^2=9$。 故椭圆的方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$。

(2) 由(1)知 $A(3,0),B(0,2)$。 直线 $AB$ 的方程为 $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$，即 $2x+3y-6=0$。 联立直线 $l:y=kx$ 与直线 $AB$ 的方程： $\{\begin{array}{l}y=kx,\\ 2x+3y-6=0,\end{array}⟹2x+3kx-6=0⟹x_M=\frac{6}{2+3k},y_M=\frac{6k}{2+3k}$ 因为点 $M$ 在第四象限，所以 $x_M>0,y_M<0⟹2+3k>0⟹k>-\frac{2}{3}$。结合已知 $k<0$，故 $-\frac{2}{3}<k<0$。 接着联立直线 $l:y=kx$ 与椭圆方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$： $(4+9k^2)x^2=36⟹x^2=\frac{36}{4+9k^2}$ 设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，由于点 $P$ 在第四象限且在直线 $l$ 上，不妨设： $x_1=\frac{6}{\sqrt{4+9k^2}},y_1=\frac{6k}{\sqrt{4+9k^2}}$ $x_2=-\frac{6}{\sqrt{4+9k^2}},y_2=-\frac{6k}{\sqrt{4+9k^2}}$ $△BPM$ 与 $△BPQ$ 均以线段 $BP$ 为边（或共享底边 $BP$），其面积之比等于点 $M$ 到直线 $BP$ 的距离与点 $Q$ 到直线 $BP$ 的距离之比，即等于横坐标（或纵坐标）的比例关系。 因为 $△BPM$ 的面积是 $△BPQ$ 面积的 $2$ 倍，且点 $M,Q$ 位于直线 $BP$ 的两侧（或根据向量共线）： 由 $△BPM$ 面积 = $2\times △BPQ$ 面积，可知点 $M$ 到直线 $BP$ 的距离是点 $Q$ 到直线 $BP$ 的距离的 $2$ 倍，即向量关系或坐标比例满足： 由于点 $P,Q$ 关于原点对称，设 $△BPQ$ 中底边为 $BP$，点 $M$ 和 $Q$ 到直线 $BP$ 的距离之比为 $2:1$。 通过坐标计算或面积公式： $S_{△BPM}=\frac{1}{2}|BP|\cdot d(M,BP)$，$S_{△BPQ}=\frac{1}{2}|BP|\cdot d(Q,BP)$。 由 $d(M,BP)=2d(Q,BP)$，结合点坐标位置，可得 $x_M=-2x_2$（或利用定比分点）： 因为 $x_2=-\frac{6}{\sqrt{4+9k^2}}$， 所以 $-2x_2=\frac{12}{\sqrt{4+9k^2}}$。 令 $x_M=\frac{6}{2+3k}=\frac{12}{\sqrt{4+9k^2}}$。 两边同除以 $6$ 化简： $\frac{1}{2+3k}=\frac{2}{\sqrt{4+9k^2}}⟹\sqrt{4+9k^2}=2(2+3k)=4+6k$ 两边平方： $4+9k^2=(4+6k{)}^2=16+48k+36k^2$ 移项整理得： $27k^2+48k+12=0⟹9k^2+16k+4=0$ 利用求根公式解 $k$： $k=\frac{-16\pm \sqrt{16^2-4\times 9\times 4}}{2\times 9}=\frac{-16\pm \sqrt{256-144}}{18}=\frac{-16\pm \sqrt{112}}{18}=\frac{-16\pm 4\sqrt{7}}{18}=\frac{-8\pm 2\sqrt{7}}{9}$ 检验根的范围 $-\frac{2}{3}<k<0$（即 $-\frac{6}{9}<k<0$）：

• 若 $k=\frac{-8+2\sqrt{7}}{9}\approx \frac{-8+2\times 2.646}{9}=\frac{-2.708}{9}\approx -0.3$（满足）；
• 若 $k=\frac{-8-2\sqrt{7}}{9}\approx \frac{-13.292}{9}\approx -1.48$（不合题意，舍去）。 故 $k=\frac{-8+2\sqrt{7}}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程求解、直线与圆锥曲线综合、三角形面积比应用。
2. 核心方法：联立方程与数形结合法。
3. 避坑指南：解出参数 $k$ 后必须代入检验其是否满足题干中的限制条件（如 $k<0$ 且点在第四象限）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何压轴题的经典范式。
2. 结论推广: 直线与圆锥曲线相交涉及面积比或线段比问题时，常转化为坐标比例或向量共线进行求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程