2018-天津卷理-07 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与离心率，以及双曲线的渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A,B$ 两点.设 $A,B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$，且 $d_1+d_2=6$，则双曲线的方程为()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

C. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$

🔍【思路分析】

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1. 基本量转化：由 $e=\frac{c}{a}=2$，可得 $c=2a$。结合 $c^2=a^2+b^2$，推导出 $b^2=3a^2$。
2. 确定 $A,B$ 点坐标：

• 右焦点 $F(c,0)$。直线 $x=c$ 代入双曲线方程，求出纵坐标。
• 得到 $A(c,\frac{b^2}{a})$ 和 $B(c,-\frac{b^2}{a})$。

3. 点到直线的距离：

• 取其中一条渐近线 $bx-ay=0$。
• 利用公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 表示出 $d_1$ 和 $d_2$。
• 注意：由于渐近线穿过双曲线内部，$A,B$ 通常分布在渐近线两侧或同侧，需通过绝对值处理 $d_1+d_2$。

4. 求解 $a,b$：由 $d_1+d_2=6$ 解出 $b$（或 $a$），进而确定方程。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 由离心率得参数关系： 因为 $e=\frac{c}{a}=2$，所以 $c=2a$。 由 $b^2=c^2-a^2=(2a{)}^2-a^2=3a^2$，得 $b=\sqrt{3}a$。
2. 求 $A,B$ 坐标： 右焦点为 $F(c,0)$，令 $x=c$，代入双曲线方程得 $\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。 即 $\frac{y^2}{b^2}=\frac{c^2-a^2}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}⟹y=\pm \frac{b^2}{a}$。 故 $A(c,\frac{b^2}{a}),B(c,-\frac{b^2}{a})$。
3. 计算距离之和： 选取渐近线 $l:bx-ay=0$。由点到直线距离公式： $d_1=\frac{|bc-a\cdot \frac{b^2}{a}|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|bc-b^2|}{c}$ $d_2=\frac{|bc-a\cdot (-\frac{b^2}{a})|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|bc+b^2|}{c}$ 由于 $c=2a$ 且 $b^2=3a^2$，则 $bc=\sqrt{3}a\cdot 2a=2\sqrt{3}{a}^2$。 显然 $bc>b^2$ ($2\sqrt{3}\approx 3.46>3$)，所以绝对值直接去掉： $d_1+d_2=\frac{bc-b^2+bc+b^2}{c}=\frac{2bc}{c}=2b$。
4. 确定方程： 已知 $d_1+d_2=6$，所以 $2b=6⟹b=3$。 则 $b^2=9$。 由 $b^2=3a^2$ 得 $9=3a^2⟹a^2=3$。 双曲线方程为 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 通径公式：双曲线过焦点的垂弦长（通径）为 $\frac{2b^2}{a}$。记住这个结论可以快速写出 $A,B$ 的纵坐标。
2. 距离和的几何对称性：在 $x=c$ 这一条垂直线上，由于渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$，两个对称点到直线的距离之和往往可以简化为与 $b$ 或 $c$ 相关的简洁形式（本题即为 $2b$）。
3. 渐近线方程形式：使用 $bx\pm ay=0$ 而非 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 可以避免分母运算，减少点到直线距离公式的计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

在笔记中可以积累这个常用结论： 双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于 $b$。 验证： $F(c,0)$ 到 $bx-ay=0$ 的距离 $d=\frac{|bc-0|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$。 本题中 $d_1,d_2$ 的中点对应的距离正好是焦点到渐近线的距离，即 $\frac{d_1+d_2}{2}=b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程