2018-天津卷理-18 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项与前项和公式。核心在于待定系数法、裂项相消法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）设 $\{a_n\}$ 是等比数列，公比 $q>0$，其前 $n$ 项和为 $S_n$；$\{b_n\}$ 是等差数列.已知 $a_1=1,a_3=a_2+2,a_4=b_3+b_5,a_5=b_4+2b_6$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 设数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，

（i）求 $T_n$；

（ii）证明：${\sum }_{k=1}^n\frac{(T_k+b_{k+2})b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求通项：

• 利用等比数列基本量 $a_1,q$ 列方程求出 $q$（注意 $q>0$），进而写出 $a_n$。
• 利用等差数列基本量 $b_1,d$ 结合 $a_4,a_5$ 的已知值列二元一次方程组，求出 $b_1,d$。

2. 第二问 (i)：求 $T_n$：

• $S_n$ 是等比数列的和，先求出 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
• $T_n=\sum S_n$，这里涉及常数项和等比项，采用分组求和法。

3. 第二问 (ii)：证明求和恒等式：

• 代入化简：将求得的 $T_k$ 和 $b_k$ 代入通项 $\frac{(T_k+b_{k+2})b_k}{(k+1)(k+2)}$。
• 裂项变形：观察目标结论 $\frac{2^{n+2}}{n+2}-2$，引导我们尝试将通项拆分为 $f(k+1)-f(k)$ 的形式。
• 求和：利用裂项相消法抵消中间项，得出结果。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^{n-1}$，$b_n=n$

(2)(i) $T_n=2^{n+1}-n-2$

(2)(ii) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。由 $a_1=1$ 及 $a_3=a_2+2$，得： $q^2=q+2⟹q^2-q-2=0$ 解得 $q=2$ 或 $q=-1$。因为 $q>0$，所以 $q=2$。 故 $a_n=2^{n-1}$。

设等差数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1$，公差为 $d$。 由 $a_4=2^3=8$，$a_5=2^4=16$，得： $\{\begin{array}{l}{b}_3+b_5=8\\ b_4+2b_6=16\end{array}⟹\{\begin{array}{l}(b_1+2d)+(b_1+4d)=8\\ (b_1+3d)+2(b_1+5d)=16\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2b_1+6d=8\\ 3b_1+13d=16\end{array}$ 解方程组得 $b_1=1,d=1$。 故 $b_n=n$。

(2)（i） 由(1)知 $a_n=2^{n-1}$，则 $S_n=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。 所以 $T_n={\sum }_{k=1}^n(2^k-1)=(2^1+2^2+\cdots +2^n)-n$ 利用等比数列求和公式： $T_n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}-n=2(2^n-1)-n=2^{\mathbf{n}+1}-\mathbf{n}-2$。

（ii）证明： 将 $T_k=2^{k+1}-k-2$ 和 $b_k=k$ 代入待证式的通项： $\frac{(T_k+b_{k+2})b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{(2^{k+1}-k-2+k+2)\cdot k}{(k+1)(k+2)}=\frac{k\cdot 2^{k+1}}{(k+1)(k+2)}$ 利用裂项技巧，观察 $\frac{k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2}{k+2}-\frac{1}{k+1}$： $\frac{k\cdot 2^{k+1}}{(k+1)(k+2)}=2^{k+1}\left(\frac{2}{k+2}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{2^{k+2}}{k+2}-\frac{2^{k+1}}{k+1}$ 设 $f(k)=\frac{2^{k+1}}{k+1}$，则通项为 $f(k+1)-f(k)$。 累加求和得： ${\sum }_{k=1}^n\left(\frac{2^{k+2}}{k+2}-\frac{2^{k+1}}{k+1}\right)=\left(\frac{2^3}{3}-\frac{2^2}{2}\right)+\left(\frac{2^4}{4}-\frac{2^3}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{2^{n+2}}{n+2}-\frac{2^{n+1}}{n+1}\right)$ $=\frac{2^{n+2}}{n+2}-\frac{2^2}{2}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2$ 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分组求和：当数列通项由等差和等比两部分组成时，分组求和是标准套路。
2. 裂项的直觉：在数列求和证明题中，如果结果是分式形式且涉及 $n+2$，通项中又含有 $(k+1)(k+2)$，基本可以断定要使用裂项相消法。
3. 计算验证：数列题目步骤较多，每算出一个通项（如 $q=2,d=1$）后，可以代入原题干的条件（如 $a_3=a_2+2$）快速口算验证。

🚀 【下一步建议】 需要我继续录入 第 19 题（解析几何：椭圆性质与直线位置关系） 的解析代码吗？

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 19.02 等比数列全总结
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和
• 2013-浙江卷理-18 解-等差数列通项与性质