2018-天津卷理-19 解-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。核心在于坐标分析法、方程组联立的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左焦点为 $F$，上顶点为 $B$.已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A$ 的坐标为 $(b,0)$，且 $|FB|\cdot |AB|=6\sqrt{2}$.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线 $l:y=kx$ ($k>0$) 与椭圆在第一象限的交点为 $P$，且 $l$ 与直线 $AB$ 交于点 $Q$.若 $\frac{|AQ|}{|PQ|}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\sin \angle AOQ$ ($O$ 为原点)，求 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求椭圆方程：

• 根据离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ 得到 $a,c$ 的比例，进而得到 $a,b$ 的比例。
• 在 $Rt△OFB$ 中，$|FB|=a$；在 $Rt△OAB$ 中，$|AB|=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2}b$。
• 利用 $|FB|\cdot |AB|=6\sqrt{2}$ 建立关于 $a,b$ 的方程组，求出 $a,b$。

2. 第二问：求斜率 $k$：

• 几何转化：观察条件中含有 $\sin \angle AOQ$。利用点到轴的距离关系：
  • $|PQ|\sin \angle AOQ=y_P-y_Q$（点 $P$ 到 $x$ 轴距离与 $Q$ 到 $x$ 轴距离之差在斜线上的投影）。
  • $|AQ|\sin \angle OAB=y_Q$（其中 $\angle OAB=45^{\circ }$）。
  • 核心目标是把复杂的线段比例转化为点 $P,Q$ 的纵坐标 $y_1,y_2$ 的比例。
• 代数求解：
  • 联立 $y=kx$ 与椭圆方程求出 $y_P$。
  • 联立 $y=kx$ 与直线 $AB$ 方程求出 $y_Q$。
  • 代入比例关系式，解关于 $k$ 的方程。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

(2) $k=\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{11}{28}$

✍【详细解析】

Abstract

解：（I） 设椭圆的焦距为 $2c$。由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，得 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{5}{9}$。 又 $a^2=b^2+c^2$，则 $b^2=a^2-c^2=\frac{4}{9}{a}^2$，即 $b=\frac{2}{3}a$。 由题意，$|FB|=a$，$|AB|=\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2}b$。 已知 $|FB|\cdot |AB|=6\sqrt{2}$，即 $a\cdot \sqrt{2}b=6\sqrt{2}⟹ab=6$。 代入 $b=\frac{2}{3}a$ 得 $a\cdot \frac{2}{3}a=6⟹a^2=9⟹a=3$。 则 $b=2$。 所以，椭圆的方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$。

（II） 设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$。由 $k>0$ 且在第一象限，有 $y_1>y_2>0$。 在 $△OPQ$ 中，过 $P,Q$ 作 $x$ 轴的垂线，易知 $|PQ|\sin \angle AOQ=y_1-y_2$。 在 $△OAQ$ 中，$A(2,0),B(0,2)$，直线 $AB$ 的方程为 $x+y-2=0$，倾斜角为 $135^{\circ }$，则 $\angle OAB=45^{\circ }$。 故 $|AQ|=\frac{y_2}{\sin 45^{\circ }}=\sqrt{2}{y}_2$。 将上述关系代入已知条件 $\frac{\sqrt{2}{y}_2}{|PQ|}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{y_1-y_2}{|PQ|}$： 得 $y_2=\frac{5}{4}(y_1-y_2)⟹4y_2=5y_1-5y_2⟹5{\mathbf{y}}_1=9{\mathbf{y}}_2$。

1. 求 $y_1$：联立 $\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}$，消 $x$ 得 $\frac{y^2}{9k^2}+\frac{y^2}{4}=1⟹y_1=\frac{6k}{\sqrt{9k^2+4}}$。
2. 求 $y_2$：联立 $\{\begin{array}{l}y=kx\\ x+y-2=0\end{array}$，消 $x$ 得 $\frac{y}{k}+y=2⟹y_2=\frac{2k}{k+1}$。
3. 求 $k$：代入 $5y_1=9y_2$ 得： $5\cdot \frac{6k}{\sqrt{9k^2+4}}=9\cdot \frac{2k}{k+1}⟹\frac{5}{\sqrt{9k^2+4}}=\frac{3}{k+1}$ 两边平方：$\frac{25}{9k^2+4}=\frac{9}{(k+1{)}^2}⟹25(k+1{)}^2=9(9k^2+4)$ 展开整理：$25k^2+50k+25=81k^2+36⟹56k^2-50k+11=0$ 解得：$(4k-1)(14k-11)=0⟹k=\frac{1}{4}$ (根据参考答案及二次方程计算校对：此处计算出的 $k$ 应为 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{11}{28}$)。 (修正计算：$56k^2-50k+11=0$，因式分解为 $(2k-1)(28k-11)=0$)。 解得 $k=\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{11}{28}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 几何直观解题：本题难点在于 $|AQ|/|PQ|$ 的处理。如果不转化为纵坐标，直接求点 $Q$ 坐标会陷入极大的计算量。利用正弦函数的定义将“斜边”投影到“铅垂高度”是解析几何的常用技巧。
2. 联立技巧：联立直线与二次曲线时，如果目标是求纵坐标，应消去 $x$；如果目标是斜率关系，通常利用韦达定理。
3. 范围约束：$k>0$ 和“第一象限”确保了 $y_1,y_2$ 的正负性，在去绝对值和平方过程中起关键作用。

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📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质
• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质