2018-江苏卷-14 填-数列构造

本题导读

本题考查新数列的构造与性质，以及等差数列求和。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）已知集合 $A=\{x\mid x=2n-1,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$，$B=\{x\mid x=2^n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$.将 $A\cup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\{a_n\}$.记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_n>12a_{n+1}$ 成立的 $n$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 剖析新数列的构成：

• 集合 $A$ 是正奇数集合：$\{1,3,5,7,\dots \}$。
• 集合 $B$ 是 $2$ 的正整数次幂集合：$\{2,4,8,16,32,64,\dots \}$。
• 数列 $\{a_n\}$ 是这两个集合的并集按从小到大排列。注意 $A$ 和 $B$ 没有交集。

2. 宏观估算（寻找大致区间）：

• 由于数列是由等差数列和等比数列穿插而成，直接求 $S_n$ 很难。我们采取**“节点法”**，即考察当加到某一个 $2^k$ 时的状态。
• 假设当前加到了 $2^k$（且将其作为最后项）。此时，集合 $A$ 中被加进去的奇数是所有小于 $2^k$ 的奇数，共有 $\frac{2^k}{2}=2^{k-1}$ 个。集合 $B$ 中被加进去的数有 $k$ 个。
• 计算此时的 $S$：奇数和 + 偶数（幂）和。
• 比较此时的 $S$ 与下一项 $12a_{n+1}$（下一项大概是 $2^k+1$），解出 $k$ 的大致范围。

3. 微观精算（锁定具体位置）：

• 经过宏观估算，发现临界点发生在 $2^5$ (即 32) 到 $2^6$ (即 64) 之间。
• 在这个区间内，集合 $B$ 的项固定为 $\{2,4,8,16,32\}$，共 5 项，和为 62。
• 设在这个区间内取了 $m$ 个奇数，那么此时的总项数 $n=m+5$。
• 写出此时的精确 $S_n$（即前 $m$ 个奇数之和 $+62$），并令其大于 $12$ 倍的下一项（即第 $m+1$ 个奇数）。
• 解关于 $m$ 的不等式，求出最小的 $m$，进而得到最小的 $n$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【答案】 27

【解析过程】

第一步：宏观粗略定位 设数列恰好加到 $2^k$ 为止。 此时包含的 $B$ 集合元素有 $k$ 个：$2^1,2^2,\dots ,2^k$。其和为 $\frac{2(1-2^k)}{1-2}=2^{k+1}-2$。 此时包含的 $A$ 集合元素是所有小于 $2^k$ 的奇数：$1,3,\dots ,2^k-1$。共有 $\frac{(2^k-1)-1}{2}+1=2^{k-1}$ 个。 奇数求和公式为项数的平方，所以奇数和为 $(2^{k-1}{)}^2=2^{2k-2}$。 总和 $S\approx 2^{2k-2}+2^{k+1}-2$。 下一项 $a_{n+1}$ 必然是紧接着的奇数 $2^k+1$。 令 $2^{2k-2}+2^{k+1}-2>12(2^k+1)$。 设 $t=2^{k-1}$，则 $2^k=2t$。代入得： $t^2+4t-2>12(2t+1)⟹t^2-20t-14>0$。 解方程 $t^2-20t-14=0$ 得 $t=10\pm \sqrt{100+14}=10\pm \sqrt{114}$。 因为 $\sqrt{114}\approx 10.6$，所以 $t>20.6$。 即 $2^{k-1}>20.6$。 当 $k=5$ 时，$2^4=16<20.6$（不成立）； 当 $k=6$ 时，$2^5=32>20.6$（成立）。 由此推断，满足条件的最小 $n$ 所对应的值一定在 $2^5=32$ 到 $2^6=64$ 之间。

第二步：微观精确计算 既然确认位置在 $32$ 和 $64$ 之间，说明集合 $B$ 中的元素恰好取了 $5$ 个：$2,4,8,16,32$。这部分的和为 $2^6-2=62$。 设此时集合 $A$ 中的元素取了前 $m$ 个奇数（显然 $m$ 个奇数需满足最大的那个奇数 $2m-1>32$，即 $m\ge 17$）。 前 $m$ 个奇数的和为 $m^2$。 所以此时的前 $n$ 项和为 $S_n=m^2+62$。 当前的总项数 $n=m+5$。

下一项 $a_{n+1}$ 是什么？因为在这段区间内没有集合 $B$ 的数（都在 32 到 64 之间），所以下一项必定是第 $m+1$ 个奇数，即 $a_{n+1}=2(m+1)-1=2m+1$。 根据题意要求 $S_n>12a_{n+1}$，代入得： $m^2+62>12(2m+1)$ $m^2-24m+50>0$ 解方程 $m^2-24m+50=0$： $m=12\pm \sqrt{144-50}=12\pm \sqrt{94}$ 因为 $\sqrt{94}\approx 9.69$，所以 $m>12+9.69=21.69$（负根舍去）。 因为 $m$ 是正整数，所以 $m$ 最小取 $22$。 （此时验证：当 $m=22$ 时，取到的最大奇数为 $2\times 22-1=43$，在 $(32,64)$ 之间，完全符合假设）。

最后，求 $n$ 的最小值： $n=m+5=22+5=27$

故填入：27。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 奇数数列求和的优美结论：从 $1$ 开始的前 $m$ 个连续奇数的和等于项数的平方，即 $1+3+5+\cdots +(2m-1)=m^2$。熟练掌握这个结论可以极大简化计算。
2. 分段突破思想：面对由两种不同规律穿插组成的“拉链数列”，直接写出统一的通项和求和公式是不现实的。核心技巧是“找锚点”（本题中 $2^k$ 就是锚点），先把问题压缩到一个确定的区间内，再转化为单一的等差或等比问题。
3. 估算的威力：在第一步中解不等式 $t^2-20t-14>0$ 时，不需要精确的无理数结果，只需要评估出 $\sqrt{114}$ 在 10 和 11 之间即可完成区间跨越的判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立一个关于“数列分组求和”的知识卡片：

1. 分段型（穿插型）：如 $a_{2k-1}=k,a_{2k}=2^k$。处理策略：将奇数项和偶数项分开求和。
2. 符号交替型：如 $a_n=(-1{)}^n{n}^2$。处理策略：相邻两项两两结合，$(a_2+a_1)+(a_4+a_3)+\dots$，转化为新的等差数列求和（或者使用平方差公式）。
3. 周期型：如 $a_n=\sin \frac{n\pi }{3}$。处理策略：找出最小正周期 $T$，计算一个周期内的和，然后看总项数包含几个整周期加上余下的尾项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2014-江西卷理-18 解-等差数列定义与通项公式