2015-江苏卷-11 填-数列通项

本题导读

本题考查数列通项公式的求解以及分式数列的前 $n$ 项和。核心步骤是利用累加法求出 $a_n$，再对倒数数列进行裂项求和。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且 $a_{n+1}-a_n=n+1$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)，则数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ 的前 10 项和为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求通项 $a_n$：已知相邻项之差为 $n$ 的函数，使用累加法。
2. 通项变形：求出 $a_n$ 后，将其取倒数，观察式子特征，判断是否符合裂项相消的形式。
3. 裂项求和：将 $\frac{1}{a_n}$ 拆分为两项之差，代入求和公式，中间项相互抵消，保留首尾项。
4. 代值计算：求出前 $n$ 项和 $S_n$ 的表达式，代入 $n=10$ 得到最终结果。

✅【答案】

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$\frac{20}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求通项 $a_n$ 由 $a_{n+1}-a_n=n+1$，利用累加法： 当 $n\ge 2$ 时： $a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_n-a_{n-1})$ $a_n=1+2+3+\cdots +n$ 利用等差数列求和公式得： $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 当 $n=1$ 时，$a_1=\frac{1\times 2}{2}=1$，符合上式。 故 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)。

第二步：求 $\frac{1}{a_n}$ 的通项及裂项 $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}$ 利用裂项相消法公式 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，得： $\frac{1}{a_n}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$

第三步：计算前 10 项和 设前 $n$ 项和为 $S_n$： $S_n=2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]$ $S_n=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1}$ 将 $n=10$ 代入： $S_{10}=\frac{2\times 10}{10+1}=\frac{20}{11}$

答案：$\frac{20}{11}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：累加法求通项；裂项相消法求和。
• 核心方法：累加与裂项的组合。这是高考数列题中的经典模版，即“递推关系 $\to$ 累加/累乘 $\to$ 通项 $\to$ 分式形式 $\to$ 裂项”。
• 避坑指南：累加法时注意 $n$ 的取值范围验证；裂项时注意前面的系数 $2$ 不要漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $a_n$ 是前 $n$ 个正整数之和，则其倒数和 $S_n=\frac{2n}{n+1}$。 *方法推广: 常见的裂项形式还包括 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$，$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ 等。

• 相关知识点：等差数列、累乘法、错位相减法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2020-江苏卷-11 填-数列求和
• 2019-江苏卷-08 填-等差数列
• 2018-江苏卷-14 填-数列构造