2018-浙江卷-17 填-向量线性运算

本题导读

本题考查向量的线性运算，以及椭圆的标准方程与性质。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）已知点 $P(0,1)$，椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=m$ ($m>1$) 上两点 $A,B$ 满足 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，则当 $m=$ $\underline{}$ 时，点 $B$ 横坐标的绝对值最大.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量坐标化：设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。根据 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，利用向量的分量关系，将 $A$ 的坐标用 $B$ 和 $P$ 的坐标表示出来。

2. 代入椭圆方程：

   • $A$ 点在椭圆上 $⟹\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=m$

   • $B$ 点在椭圆上 $⟹\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=m$

3. 构造 $x_2$ 关于 $m$ 的函数：

   • 消去 $x_1,y_1$ 后，得到两个关于 $x_2,y_2$ 和参数 $m$ 的方程。

   • 通过消元处理掉 $y_2$，得到 $x_2^2$ 关于 $m$ 的表达式。

4. 求最值：对得到的关于 $m$ 的二次函数（或其变形）求最值点。

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 5

【解析过程】

设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。已知 $P(0,1)$。

由 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$ 可得：

$(0-x_1,1-y_1)=2(x_2-0,y_2-1)$

从而：

$\{\begin{array}{l}-x_1=2x_2⟹x_1=-2x_2\\ 1-y_1=2y_2-2⟹y_1=3-2y_2\end{array}$

将 $A,B$ 点坐标代入椭圆方程 $\frac{x^2}{4}+y^2=m$：

1. 对于 $B$ 点：$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=m\dots \text{(1)}$

2. 对于 $A$ 点：$\frac{(-2x_2{)}^2}{4}+(3-2y_2{)}^2=m$

   化简得：$x_2^2+4y_2^2-12y_2+9=m\dots \text{(2)}$

由 ① 得 $x_2^2=4(m-y_2^2)$，代入 ②：

$4m-4y_2^2+4y_2^2-12y_2+9=m$

$3m+9=12y_2⟹y_2=\frac{m+3}{4}$

将 $y_2$ 代入 ①：

$\frac{x_2^2}{4}=m-(\frac{m+3}{4}{)}^2$

$x_2^2=4m-\frac{(m+3{)}^2}{4}=\frac{16m-(m^2+6m+9)}{4}=\frac{-m^2+10m-9}{4}$

要使 $|x_2|$ 最大，即求 $x_2^2$ 的最大值。

$f(m)=\frac{-m^2+10m-9}{4}$ 是开口向下的二次函数。

其对称轴为 $m=-\frac{10}{2(-1)}=5$。

当 $m=5$ 时，$x_2^2$ 取最大值，此时 $|x_2|$ 最大。

（此时 $x_2^2=\frac{-25+50-9}{4}=4$，满足 $m>1$ 条件）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 向量与解析几何的纽带：向量等式 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 本质上是分点坐标公式的体现，它建立了曲线内两个动点坐标的线性联系。

2. 函数建模思想：本题将“几何最值”转化为了“代数最值”。消元的选择很重要，因为题目问的是关于 $m$ 的取值，所以将其他变量全部用 $m$ 表示是核心策略。

3. 浙江卷压轴风格：计算量大、过程严密。在处理 $x_2^2$ 的表达式时，要注意检查 $m$ 的范围是否使 $x_2^2\ge 0$ 且 $y_2$ 在合理范围内，本题中 $m=5$ 时的各项指标均符合定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下这种“联动点”问题的套路：

1. 设点；

2. 转化（用向量或中点公式找联系）；

3. 代入方程（利用点在曲线上）；

4. 消元构造函数（通常是二次函数）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-22 解-椭圆方程与性质
• 2013-新课标II卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2013-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质