2019-上海卷-08 填-数列通项

本题导读

本题考查数列项与和的关系，以及等比数列的定义与求和公式。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $S_n+a_n=2$，则 $S_5=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 找递推关系：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge 2$) 将已知式子中的 $a_n$ 换掉，得到 $S_n$ 与 $S_{n-1}$ 的关系。
2. 判定数列类型：通过变形 $S_n+(S_n-S_{n-1})=2⟹2S_n-S_{n-1}=2$。
3. 构造等比：通过配凑法（或直接计算前几项找规律）发现 $\{S_n-1\}$ 是等比数列。

✅【答案】

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$\frac{31}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{31}{16}$ 【解析过程】 当 $n=1$ 时，$S_1+a_1=2⟹2a_1=2⟹a_1=1$。 当 $n\ge 2$ 时，由 $S_n+a_n=2$ 得 $a_n=2-S_n$。 代入 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 得： $S_n-S_{n-1}=2-S_n⟹2S_n=S_{n-1}+2⟹S_n-1=\frac{1}{2}(S_{n-1}-1)$。 令 $b_n=S_n-1$，则 $b_1=S_1-1=a_1-1=0$？ 修正计算：若 $a_1=1$，则 $S_1-1=0$，后续项均为 1，这说明原数列是常数列？重新审视解析图： 解析图中采用的是项的递推： 由 $S_n+a_n=2$ 及 $S_{n-1}+a_{n-1}=2$ ($n\ge 2$)，两式相减得： $(S_n-S_{n-1})+(a_n-a_{n-1})=0⟹a_n+a_n-a_{n-1}=0⟹2a_n=a_{n-1}⟹a_n=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$。 所以 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=1$，公比 $q=\frac{1}{2}$ 的等比数列。 则 $S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{1\cdot [1-(\frac{1}{2}{)}^5]}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot (1-\frac{1}{32})=\frac{31}{16}$。 故答案为：$\frac{31}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 项和转化：$a_n=S_n-S_{n-1}$ 是处理此类问题的万能钥匙。
• 注意定义域：在使用减法消项时，务必注明 $n\ge 2$，并单独计算 $n=1$ 的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2009-山东卷文-20 解-等比数列求和