2019-全国卷I文-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的运算，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）设 $z=\frac{3-\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}$，则 $|z|=$ ()

A. 2　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用复数的模的性质：若 $z=\frac{z_1}{z_2}$，则 $|z|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$。
2. 分别计算分子和分母的模长，代入求值。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $|3-\mathrm{i}|=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$， $|1+2\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$， 所以 $|z|=\left|\frac{3-\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}\right|=\frac{|3-\mathrm{i}|}{|1+2\mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的模。
2. 核心方法：利用性质 $|z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|$ 可以避免繁琐的分母化简。
3. 避坑指南：注意不要盲目进行分母实数化，合理利用模的性质能大幅提升计算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考复数基础题。
2. 结论推广: 积与商的模等于模的积与商。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012年陕西卷理-6
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法