2019-全国卷I文-07 单-诱导公式

本题导读

本题考查诱导公式，以及两角和的正切公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）$\tan 255^{\circ }=$ ()

A. $-2-\sqrt{3}$　　　　B. $-2+\sqrt{3}$　　　　C. $2-\sqrt{3}$　　　　D. $2+\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用诱导公式将 $255^{\circ }$ 化为锐角：$\tan 255^{\circ }=\tan (180^{\circ }+75^{\circ })=\tan 75^{\circ }$。
2. 利用两角和的正切公式展开：$\tan (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\tan 45^{\circ }+\tan 30^{\circ }}{1-\tan 45^{\circ }\tan 30^{\circ }}$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

$\tan 255^{\circ }=\tan (180^{\circ }+75^{\circ })=\tan 75^{\circ }=\tan (45^{\circ }+30^{\circ })$ $=\frac{\tan 45^{\circ }+\tan 30^{\circ }}{1-\tan 45^{\circ }\tan 30^{\circ }}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$ $=\frac{(3+\sqrt{3}{)}^2}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{9-3}=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}=2+\sqrt{3}$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数化简与求值。
2. 核心方法：诱导公式降角，特殊角正切公式代入。
3. 避坑指南：分母有理化时注意符号与平方差公式的准确应用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角恒等变换基础题。
2. 结论推广: 熟记 $\tan 75^{\circ }=2+\sqrt{3}$ 与 $\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$ 常用结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1977-上海理-01(4）
• 1991-全国卷理-05