2017-北京卷文-09 填-诱导公式

本题导读

考查对称角之间的三角函数关系及诱导公式的应用。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 $Ox$ 为始边，它们的终边关于 $y$ 轴对称，若 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$，则 $\sin \beta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据终边关于 $y$ 轴对称的角的关系，建立 $\alpha$ 与 $\beta$ 的数量关系式。
2. 利用诱导公式求解 $\sin \beta$。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称， 所以 $\alpha +\beta =\pi +2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)，即 $\beta =\pi -\alpha +2k\pi$。 因此，$\sin \beta =\sin (\pi -\alpha +2k\pi )=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$。 已知 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$， 所以 $\sin \beta =\frac{1}{3}$。 故答案为：$\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对称角的三角函数性质。
2. 核心方法：诱导公式化简。
3. 避坑指南：注意关于 $y$ 轴对称时角互补（和为 $\pi +2k\pi$），关于 $x$ 轴对称时角相加减为 $2k\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数基本性质常规填空题。
2. 结论推广: 若终边关于 $y$ 轴对称，则 $\sin \beta =\sin \alpha$，$\cos \beta =-\cos \alpha$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-09 单-诱导公式
• 2019-全国卷I文-07 单-诱导公式
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