2019-全国卷I文-15 填-诱导公式

本题导读

本题考查诱导公式，以及三角函数的化简与最值。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）函数 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{3\pi }{2}\right)-3\cos x$ 的最小值为了$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 利用诱导公式化简第一项：$\sin \left(2x+\frac{3\pi }{2}\right)=-\cos 2x$。
2. 利用二倍角公式将 $\cos 2x$ 转化为含 $\cos x$ 的二次式：$-\cos 2x=-(2{\cos }^{2}x-1)=1-2{\cos }^{2}x$。
3. 令 $t=\cos x\in [-1,1]$，将 $f(x)$ 转化为关于 $t$ 的二次函数，求其在闭区间上的最小值。

✅【答案】

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$-4$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\sin \left(2x+\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(2x+\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{2}\right)=\cos (2x+\pi )=-\cos 2x$， 所以 $f(x)=-\cos 2x-3\cos x=-(2{\cos }^{2}x-1)-3\cos x=-2{\cos }^{2}x-3\cos x+1$。 设 $t=\cos x$，因为 $x\in \mathbb{R}$，所以 $t\in [-1,1]$。 原函数化为二次函数 $g(t)=-2t^2-3t+1=-2{\left(t+\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{17}{8}$。 因为抛物线开口向下，对称轴为 $t=-\frac{3}{4}$ 位于区间 $[-1,1]$ 内， 当 $t=1$ 时，函数取得最小值：$g(1)=-2(1{)}^2-3(1)+1=-4$。 故答案为：$-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数化简与二次函数最值。
2. 核心方法：换元法转化为闭区间二次函数最值。
3. 避坑指南：换元时切记标明新元的取值范围（如 $\cos x\in [-1,1]$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数与函数最值综合题。
2. 结论推广: 熟练掌握含多倍角的三角函数转化技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-上海理-01(4）
• 1991-全国卷理-05