2019-全国卷I理-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数表示，以及复数模的定义与运算。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）设复数 $z$ 满足 $|z-\text{i}|=1$，$z$ 在复平面内对应的点为 $(x,y)$，则()

A. $(x+1{)}^2+y^2=1$　　　　　　　　　　B. $(x-1{)}^2+y^2=1$

C. $x^2+(y-1{)}^2=1$　　　　　　　　　　D. $x^2+(y+1{)}^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代数法（通用解法）：

   将复数的代数形式 $z=x+y\text{i}$ 代入已知等式 $|z-\text{i}|=1$。利用复数模的计算公式 $|a+b\text{i}|=\sqrt{a^2+b^2}$ 去掉模符号，化简得到关于 $x,y$ 的方程。

2. 几何法（快速求解解法）：

   复数模的几何意义：$|z_1-z_2|$ 表示复平面内点 $z_1$ 与点 $z_2$ 之间的距离。

   已知 $|z-\text{i}|=1$，说明动点 $z(x,y)$ 到定点 $\text{i}(0,1)$ 的距离恒等于 1。根据圆的定义，其轨迹是以 $(0,1)$ 为圆心，1 为半径的圆。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

方法一：代数法

1. 设 $z=x+y\text{i}$ ($x,y\in \mathbb{R}$)。

2. 则 $z-\text{i}=x+y\text{i}-\text{i}=x+(y-1)\text{i}$。

3. 根据复数模的公式：

   $|z-\text{i}|=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$

4. 已知 $|z-\text{i}|=1$，两边平方得：

   $x^2+(y-1{)}^2=1$

方法二：几何法

1. 在复平面内，复数 $\text{i}$ 对应的坐标为 $(0,1)$。

2. 方程 $|z-\text{i}|=1$ 表示复平面内点 $(x,y)$ 到点 $(0,1)$ 的距离为 1。

3. 由两点间距离公式可知，该轨迹方程为：

   $\sqrt{(x-0{)}^2+(y-1{)}^2}=1⟹x^2+(y-1{)}^2=1$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 复数与点的一一对应： 复数 $a+b\text{i}$ 对应复平面上的点 $(a,b)$。注意纯虚数 $\text{i}$ 对应的是 $(0,1)$ 而非 $(1,0)$。

2. 轨迹方程的转化：

   • $|z-z_0|=r$ 表示圆。

   • $|z-z_1|=|z-z_2|$ 表示线段 $z_1{z}_2$ 的垂直平分线。

3. 易错点： 选项 D 中的 $(y+1)$ 通常是因为误将 $-\text{i}$ 当作 $+\text{i}$ 处理，或者在去括号时符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在处理复数压轴题时，熟练运用几何意义可以极大地简化运算：

• 距离最值：若题目问 $|z|$ 的最大值，即求圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 上的点到原点的最远距离（结果为 $1+1=2$）。

• 参数方程：该圆也可以表示为 $x=\cos \theta ,y=1+\sin \theta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集