2019-全国卷I理-09 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前 n 项和公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_4=0$，$a_5=5$，则()

A. $a_n=2n-5$　　　　　　　　　　　　　　B. $a_n=3n-10$

C. $S_n=2n^2-8n$　　　　　　　　　　　　　　D. $S_n=\frac{1}{2}{n}^2-2n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量法 (直接法)： 设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。利用通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 和前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 建立关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组。解出基本量后，分别写出 $a_n$ 和 $S_n$ 进行比对。
2. 排除法 (快速法)：

• 验证 $a_5=5$：代入 A、B 选项看是否满足。
• 验证 $S_4=0$：代入 C、D 选项看是否满足。
• 利用 $a_5=S_5-S_4$：对于项与和混合的选项，利用此性质快速检验。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 方法一：基本量法 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 根据题意列方程组： $\{\begin{array}{l}{S}_4=4a_1+\frac{4\times 3}{2}d=0\\ a_5=a_1+4d=5\end{array}⟹\{\begin{array}{l}4a_1+6d=0\\ a_1+4d=5\end{array}$ 由第一个方程得 $2a_1+3d=0$，即 $a_1=-\frac{3}{2}d$。 代入第二个方程：$-\frac{3}{2}d+4d=5⟹\frac{5}{2}d=5$，解得 $d=2$。 进而求得 $a_1=-3$。 则通项公式为：$a_n=-3+(n-1)\times 2=2n-5$。 前 $n$ 项和为：$S_n=n\times (-3)+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=n^2-4n$。 对比选项，A 符合。

方法二：排除法

• 校验 B：若 $a_n=3n-10$，则 $a_5=15-10=5$（满足），但 $a_1=-7,a_4=2$，$S_4=\frac{4(-7+2)}{2}=-10\ne 0$（排除）。
• 校验 C：若 $S_n=2n^2-8n$，则 $S_4=2(16)-32=0$（满足），但 $a_5=S_5-S_4=[2(25)-40]-0=10\ne 5$（排除）。
• 校验 D：若 $S_n=\frac{1}{2}{n}^2-2n$，则 $S_4=\frac{1}{2}(16)-8=0$（满足），但 $a_5=S_5-S_4=[\frac{25}{2}-10]-0=2.5\ne 5$（排除）。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式熟练度：等差数列的五个基本量（$a_1,d,n,a_n,S_n$）“知三求二”是核心功底。
• 对称性观察：在等差数列中，$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=2(a_1+a_4)=0$，可直接得 $a_1+a_4=0$ 或 $a_2+a_3=0$，这能微调计算速度。
• 运算准确性：数列题目公式多，计算简单但易出错，建议养成代入特殊值（如 $n=1$）校验的习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 通项是线性函数：$a_n=dn+(a_1-d)$，斜率为公差 $d$。
2. 和是二次函数：$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，是过原点且不含常数项的二次函数。
3. 等差中项：若 $S_n$ 是等差数列的前 $n$ 项和，则 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 依然成等差数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项