2019-全国卷II理-13 填-平均数

本题导读

本题考查加权平均数的计算公式，以及样本平均数对总体特征的估计。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

明确总量与权重：

• 总车次数：$10+20+10=40$。
• 各组权重分别为 10、20、10。 应用加权平均数公式： 平均正点率 $\bar{x}=\frac{\sum x_i{f}_i}{\sum f_i}$，其中 $x_i$ 为正点率，$f_i$ 为车次数。 简化计算： 由于数据的对称性（0.97 和 0.99 关于 0.98 对称，且权数相同），可以利用对称性直接判定结果。

✅【答案】

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0.98

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 0.98 【解析过程】

计算总车次数： $n=10+20+10=40$。 计算正点车次总数的期望值（加权和）： 总和 $=10\times 0.97+20\times 0.98+10\times 0.99$ $=9.7+19.6+9.9$ $=39.2$。 计算平均正点率： $\bar{x}=\frac{39.2}{40}=0.98$。

技巧点拨 (对称法)： 观察数据：

• 0.97 (10次)
• 0.98 (20次)
• 0.99 (10次) 由于 $0.97+0.99=2\times 0.98$，且两端数据的权数（10）相等，这部分数据的平均值恰好为 0.98。中间数据的平均值也是 0.98。因此总体平均值必然是 0.98。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

加权平均数的意义： 当各组数据在总量中所占比例（权重）不同时，不能简单相加除以 3，而必须考虑权数。 数据处理素养： 在处理带有小数或大数据的统计题时，先观察数据的分布特征（如对称性、集中趋势）往往能避免繁琐计算，提高准确率。 估算与实际意义： 正点率作为概率的估计值，反映了该站高铁运行的整体可靠性。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立关于“权”的理解模型：

1. 频数作为权：如本题，车次数即为权。
2. 频率作为权：$\bar{x}=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots$。
3. 重要性作为权：如学校总评成绩，期末考占比 60%，平日表现占比 40%。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-06 填-加权平均数
• 2008-山东卷理-08
• 2008-新课标卷文-19 解-平均数与古典概型