2019-全国卷II理-19 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的定义与通项公式。核心在于构造法（和差变换）、待定系数法思路的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, b_{1} = 0$ ， $4 a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n} + 4$ ， $4 b_{n + 1} = 3 b_{n} - a_{n} - 4$ 。

(1)证明： ${a_{n} + b_{n}}$ 是等比数列， ${a_{n} - b_{n}}$ 是等差数列；

(2)求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式。

🔍【思路分析】

破题导航

构造新数列：

求和：将两个递推式左右两边分别相加，整理出 $(a_{n + 1} + b_{n + 1})$ 与 $(a_{n} + b_{n})$ 的关系。若比值为常数，则为等比数列。

求差：将两个递推式左右两边分别相减，整理出 $(a_{n + 1} - b_{n + 1})$ 与 $(a_{n} - b_{n})$ 的关系。若差值为常数，则为等差数列。

求解通项：

分别利用等比和等差数列的通项公式求出 $(a_{n} + b_{n})$ 和 $(a_{n} - b_{n})$ 。

联立这两个关于 $a_{n}, b_{n}$ 的方程，通过加减消元法分别解出 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2) $a_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} + n - \frac{1}{2}$ ， $b_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} - n + \frac{1}{2}$ 。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】

(1)证明： 已知： ① $4 a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n} + 4$ ② $4 b_{n + 1} = 3 b_{n} - a_{n} - 4$ 相加得： $4 (a_{n + 1} + b_{n + 1}) = (3 a_{n} - a_{n}) + (3 b_{n} - b_{n}) + (4 - 4)$ $4 (a_{n + 1} + b_{n + 1}) = 2 a_{n} + 2 b_{n}$ 即 $a_{n + 1} + b_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + b_{n})$ 。又 $a_{1} + b_{1} = 1 + 0 = 1 \neq = 0$ 。所以 ${a_{n} + b_{n}}$ 是以 1 为首项， $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。

相减得： $4 (a_{n + 1} - b_{n + 1}) = (3 a_{n} + a_{n}) - (b_{n} + 3 b_{n}) + (4 - (- 4))$ $4 (a_{n + 1} - b_{n + 1}) = 4 a_{n} - 4 b_{n} + 8$ 即 $a_{n + 1} - b_{n + 1} = (a_{n} - b_{n}) + 2$ 。又 $a_{1} - b_{1} = 1 - 0 = 1$ 。所以 ${a_{n} - b_{n}}$ 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列。

(2)解： 由(1)可知： $a_{n} + b_{n} = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ ③ $a_{n} - b_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n - 1$ ④ 联立 ③、④： (③ + ④) / 2 得： $a_{n} = \frac{1}{2} [\frac{1}{2 ^{n - 1}} + (2 n - 1)] = \frac{1}{2 ^{n}} + n - \frac{1}{2}$ (③ - ④) / 2 得： $b_{n} = \frac{1}{2} [\frac{1}{2 ^{n - 1}} - (2 n - 1)] = \frac{1}{2 ^{n}} - n + \frac{1}{2}$

所以 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} + n - \frac{1}{2}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} - n + \frac{1}{2}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

和差构造法：这种两个数列互相缠绕的递推式（耦合方程组），通常通过 $a_{n} + λ b_{n}$ 的构造来解开。本题中 $λ = \pm 1$ 是最简单的特殊情况。

判定数列的规范性：证明等比数列时，必须说明首项不为零；证明等差/等比时，必须体现相邻项的比值或差值为“常数”。通项合并：最后一步利用 $a_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) + ( a _{n} - b _{n} )}{2}$ 是解析此类题目的标准收尾动作。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以备注：如果 $a_{n + 1} = p a_{n} + q b_{n}$ 且 $b_{n + 1} = r a_{n} + s b_{n}$ ，可以设 $a_{n + 1} + λ b_{n + 1} = k (a_{n} + λ b_{n})$ 。利用待定系数法求出 $λ$ 和 $k$ ，这比直接猜测和差要更通用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2008-江苏卷-19 解-数列删项等比

2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比

2013-江西卷理-03 单-等比中项

∑ ( Math )

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2019-全国卷II理-19 解-等差数列

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