2019-全国卷III文-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项与求和。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_3=5$，$a_7=13$，则 $S_{10}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$。
2. 根据条件 $a_3=5$，$a_7=13$ 建立方程组求解 $a_1$ 和 $d$。
3. 利用等差数列前 $n$ 项和公式求出 $S_{10}$。

✅【答案】

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100

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由题意可得方程组： $\{\begin{array}{l}{a}_1+2d=5\\ a_1+6d=13\end{array}$ 两式相减得 $4d=8⟹d=2$，代入得 $a_1=1$。 利用前 $n$ 项和公式： $S_{10}=10a_1+\frac{10\times (10-1)}{2}d=10\times 1+45\times 2=10+90=100$。 故答案为：100。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量计算。
2. 核心方法：方程组联立消元。
3. 避坑指南：熟练掌握公式，避免计算过程中的粗心失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列基础计算题。
2. 结论推广: 熟练掌握等差数列中 $a_n=a_m+(n-m)d$ 的性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-大纲卷II文-18 解-等差等比综合求和
• 2008-天津卷文-04 单-等差数列基本量