2019-全国卷III理-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集概念，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}$，$B=\{x|x^2\le 1\}$，则 $A\cap B=$()

A. $\{-1,0,1\}$　　　　B. $\{0,1\}$　　　　C. $\{-1,1\}$　　　　D. $\{0,1,2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析集合 B： 集合 $B$ 由满足 $x^2\le 1$ 的实数构成。解此不等式确定其区间范围。
2. 执行交集运算： $A\cap B$ 表示寻找既在集合 $A$ 中，又满足集合 $B$ 范围限制的元素。
3. 元素校验： 将 $A$ 中的离散元素 $\{-1,0,1,2\}$ 逐一代入 $B$ 的区间内筛选。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 第一步：解不等式确定集合 B 由 $x^2\le 1$ 可得： $-1\le x\le 1$ 因此，集合 $B=\{x|-1\le x\le 1\}$。

第二步：求 A 与 B 的公共元素 已知 $A=\{-1,0,1,2\}$，对比集合 $B$ 的范围 $[-1,1]$：

• 当 $x=-1$ 时，$-1\le -1\le 1$ 成立，故 $-1\in B$；
• 当 $x=0$ 时，$-1\le 0\le 1$ 成立，故 $0\in B$；
• 当 $x=1$ 时，$-1\le 1\le 1$ 成立，故 $1\in B$；
• 当 $x=2$ 时，$2>1$，不满足范围，故 $2\notin B$。 因此，$A\cap B=\{-1,0,1\}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 集合语言的转化：高考常将集合作为“容器”，内部装载不等式的解集、函数的定义域或值域。解题的第一步永远是“化简集合”。
2. 点集与区间的区分：集合 $A$ 是点集（离散），集合 $B$ 是区间（连续）。它们的交集一定是点集。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，建议补充以下高阶关注点：

1. 不等式的端点效应：

• $x^2\le 1⟹x\in [-1,1]$（闭区间）

• $x^2<1⟹x\in (-1,1)$（开区间）

• 考场上务必看清是否包含等号，这直接决定了端点元素 $-1,1$ 是否在交集中。

2. 代表元素的属性（陷阱常客）：

• $\{x|y=x^2\}$：代表元素是 $x$，指函数的定义域。

• $\{y|y=x^2\}$：代表元素是 $y$，指函数的值域。

• $\{(x,y)|y=x^2\}$：代表元素是坐标点，指抛物线上的点集。

3. 子集与逻辑的联系：

• $A\cap B=A⟺A\subseteq B$。

• $A\cup B=A⟺B\subseteq A$。

• 在逻辑用语中，$A\subseteq B$ 是 $x\in A$ 成立的充分不必要条件。

4. 空集 $\varnothing$ 的特殊性： 当题目给出 $A\subseteq B$ 且 $A$ 中含有参数时，务必先讨论 $A=\varnothing$ 的情况，这是解答题中极其容易丢分的地方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-04 填-集合整数计数
• 2009-陕西卷文-01 单-集合交集
• 2010-北京卷文-01 单-集合交集