2008-江苏卷-04 填-集合整数计数

本题导读

本题以二次不等式为载体考查集合与整数集的交集：先解出 $A$，再数 $A\cap \mathbf{Z}$ 的元素个数。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 设集合 $A=\{x\mid (x-1{)}^2<3x+7,x\in \mathbf{R}\}$，则集合 $A\cap \mathbf{Z}$ 中有 $\underline{}$ 个元素.

🔍【思路分析】

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1. 展开整理为一元二次不等式并求解集。
2. 在解集中取整数，数出个数。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

$(x-1{)}^2<3x+7$，展开得 $x^2-2x+1<3x+7$，即 $x^2-5x-6<0$， 因式分解为 $(x-6)(x+1)<0$，解得 $-1<x<6$。 其中整数解为 $0,1,2,3,4,5$，共 $6$ 个，故 $A\cap \mathbf{Z}$ 中有 $6$ 个元素。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次不等式与整数集

核心方法：解不等式后取整数解

避坑指南：区间是开区间 $(-1,6)$，两端点 $-1$ 和 $6$ 不计入；先因式分解再数数，别把 $0$ 漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 天津文第 16 题、2010 江苏卷第 1 题同为不等式与集合交汇。

结论推广：二次不等式的解集端点由判别式与开口共同决定。

方法推广：含整数计数的题，先画数轴标区间再数点，避免遗漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-16 填-二次不等式整数解
• 2009-江苏卷-11 填-集合包含定参
• 2010-江苏卷-01 填-集合交集定参
• 2009-湖南卷文-09 填-集合容斥计数