2019-全国卷III理-12 单-正弦型函数

本题导读

本题考查正弦型函数的性质。核心在于整体代换法、数形结合法 (正弦曲线观察)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\frac{\pi }{5})$ ($\omega >0$)，已知 $f(x)$ 在 $[0,2\pi ]$ 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：

① $f(x)$ 在 $(0,2\pi )$ 有且仅有 3 个极大值点

② $f(x)$ 在 $(0,2\pi )$ 有且仅有 2 个极小值点

③ $f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi }{10})$ 单调递增

④ $\omega$ 的取值范围是 $[\frac{12}{5},\frac{29}{10})$ 其中所有正确结论的编号是()

A. ①④　　　　　　B. ②③　　　　　　C. ①②③　　　　　　D. ①③④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定 $\omega$ 的范围 (验证 ④)： 令 $u=\omega x+\frac{\pi }{5}$。当 $x\in [0,2\pi ]$ 时，$u\in [\frac{\pi }{5},2\pi \omega +\frac{\pi }{5}]$。 正弦函数 $\sin u$ 在起点 $u=\frac{\pi }{5}$ 时值为正。要使在 $[0,2\pi ]$ 有且仅有 5 个零点，观察正弦曲线可知，这 5 个零点对应的 $u$ 分别为 $\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,5\pi$。 因此，第 5 个零点 $5\pi$ 必须在区间内，而第 6 个零点 $6\pi$ 必须在区间外。
2. 分析极大值与极小值 (验证 ①②)： 极大值点对应 $u=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，极小值点对应 $u=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$。根据 $u$ 的范围，数出落在区间内的个数。
3. 判定单调性 (验证 ③)： 当 $x\in (0,\frac{\pi }{10})$ 时，$u\in (\frac{\pi }{5},\frac{\omega \pi }{10}+\frac{\pi }{5})$。要使函数在此区间递增，需保证 $u$ 的上限不超过第一个波峰 $\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 第一步：求 $\omega$ 的取值范围 (验证 ④) 设 $u=\omega x+\frac{\pi }{5}$。当 $x\in [0,2\pi ]$ 时，$u\in [\frac{\pi }{5},2\pi \omega +\frac{\pi }{5}]$。 正弦函数在 $[\frac{\pi }{5},\dots ]$ 上的零点序列为 $\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,5\pi ,6\pi ,\dots$。 要有 5 个零点，则需满足：$5\pi \le 2\pi \omega +\frac{\pi }{5}<6\pi$。 解不等式： $5\pi -\frac{\pi }{5}\le 2\pi \omega <6\pi -\frac{\pi }{5}⟹\frac{24\pi }{5}\le 2\pi \omega <\frac{29\pi }{5}$。 除以 $2\pi$ 得：$\frac{12}{5}\le \omega <\frac{29}{10}$。 故 ④ 正确。

第二步：分析极值点个数 (验证 ①②) 由 $\omega$ 范围知 $u$ 的右端点范围为 $[5\pi ,6\pi )$。

• 极大值点：对应 $u=\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{9\pi }{2}$。 由于 $\frac{9\pi }{2}=4.5\pi <5\pi$，这三个点都在区间内。下一个极大值点 $u=\frac{13\pi }{2}=6.5\pi$ 显然在区间外。 故极大值点有且仅有 3 个，① 正确。
• 极小值点：对应 $u=\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\frac{11\pi }{2}$。 由于 $\frac{11\pi }{2}=5.5\pi$，而右端点范围是 $[5\pi ,6\pi )$： 若右端点 $2\pi \omega +\frac{\pi }{5}<5.5\pi$，则只有 2 个极小值点； 若右端点 $2\pi \omega +\frac{\pi }{5}\ge 5.5\pi$，则有 3 个极小值点。 由于个数不确定（取决于 $\omega$ 的具体取值），故 ② 错误。

第三步：判定单调性 (验证 ③) 当 $x\in (0,\frac{\pi }{10})$ 时，$u\in (\frac{\pi }{5},\frac{\omega \pi }{10}+\frac{\pi }{5})$。 若 $f(x)$ 在该区间单调递增，则 $u$ 的上限应满足： $\frac{\omega \pi }{10}+\frac{\pi }{5}\le \frac{\pi }{2}⟹\frac{\omega \pi }{10}\le \frac{3\pi }{10}⟹\omega \le 3$。 由 ④ 已知 $\omega <2.9$，显然满足 $\omega \le 3$。 故 ③ 正确。

综上所述，正确结论为 ①③④。 故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 整体思想的运用：处理 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 的问题，务必先观察复合变量 $u$ 的取值区间，将问题转化为简单的正弦曲线特征分析。
2. 临界点的精准把握：在讨论零点或极值点个数时，端点处的“左闭右开”逻辑非常关键（如 $5\pi$ 可以取等号，但 $6\pi$ 不能）。
3. 选项排除技巧：在选择题中，如果已经确定了 ④ 正确且 ② 错误，可以直接在选项中筛选，提高做题效率。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立此类题目的“动态图景”：

• $\omega$ 决定频率：$\omega$ 越大，波峰越密集，单位长度内的零点和极值点越多。
• $\phi$ 决定相位：$\phi$ 决定了图象在 $y$ 轴截距的位置，进而影响第一波峰和第一零点的出现时刻。
• 关联结论：
• 相邻零点间距为 $\frac{T}{2}=\frac{\pi }{\omega }$。
• 相邻极值点间距为 $\frac{T}{2}=\frac{\pi }{\omega }$。
• 零点到相邻极值点间距为 $\frac{T}{4}=\frac{\pi }{2\omega }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 2012-大纲卷文-21 解-三次函数极值点连线