2012-大纲卷文-21 解-三次函数极值点连线

本题导读

本题考查导数与函数的单调性。核心在于分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+ax$.

(1)讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2)设 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1$，$x_2$，若过两点 $(x_1,f(x_1))$，$(x_2,f(x_2))$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点在曲线 $f(x)$ 上，求 $a$ 的值.（本小题满分 $12$ 分）

🔍【思路分析】

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$f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2+a-1$ 按 $a$ 与 $1$ 的大小分两类；两极值点连线为 $y=\frac{2(a-1)}{3}x-\frac{a}{3}$，与 $x$ 轴交点在曲线上解得 $a=0,\frac{2}{3},\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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(1)$a⩾1$ 时在 $\mathbf{R}$ 上单调递增；$a<1$ 时在 $(-\infty ,-1-\sqrt{1-a})$ 与 $(-1+\sqrt{1-a},+\infty )$ 上递增，在 $(-1-\sqrt{1-a},-1+\sqrt{1-a})$ 上递减

(2)$a=0$ 或 $a=\frac{2}{3}$ 或 $a=\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=x^2+2x+a=(x+1{)}^2+a-1$。

（1）当 $a⩾1$ 时，$f^{\prime }(x)⩾0$，$f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增；

当 $a<1$ 时，$f^{\prime }(x)=0$ 的两根为 $x=-1\pm \sqrt{1-a}$，$f(x)$ 在 $(-\infty ,-1-\sqrt{1-a})$ 与 $(-1+\sqrt{1-a},+\infty )$ 上单调递增，在 $\left(-1-\sqrt{1-a},-1+\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递减。

（2）$f$ 有两个极值点 $⟺a<1$，此时 $x_1+x_2=-2$，$x_1{x}_2=a$，$x_1\ne x_2$。

在极值点处 $x_i^2=-2x_i-a$，故

$f(x_i)=\frac{1}{3}{x}_i^3+x_i^2+a{x}_i=\frac{1}{3}{x}_i(-2x_i-a)+x_i^2+a{x}_i=\frac{1}{3}{x}_i^2+\frac{2a}{3}{x}_i=\frac{2(a-1)}{3}{x}_i-\frac{a}{3}$。

即两点 $(x_1,f(x_1))$、$(x_2,f(x_2))$ 都在直线 $y=\frac{2(a-1)}{3}x-\frac{a}{3}$ 上，由 $x_1\ne x_2$ 知此即直线 $l$。

$l$ 与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_0=\frac{a}{2(a-1)}$（$a\ne 1$）。交点在曲线上，即 $f(x_0)=0$：

$f(x_0)=\frac{1}{3}{x}_0^3+x_0^2+a{x}_0=x_0\left(\frac{1}{3}{x}_0^2+x_0+a\right)=0$。

① $x_0=0\Rightarrow a=0$（满足 $a<1$）；

② $\frac{1}{3}{x}_0^2+x_0+a=0$，即 $a=-\frac{1}{3}{x}_0^2-x_0$；又由 $x_0=\frac{a}{2(a-1)}$ 反解得 $a=\frac{2x_0}{2x_0-1}$，代入整理得 $x_0(2x_0+3)(x_0+1)=0$，$x_0=-\frac{3}{2}$ 或 $x_0=-1$，分别得 $a=\frac{3}{4}$、$a=\frac{2}{3}$。

综上 $a=0$ 或 $a=\frac{2}{3}$ 或 $a=\frac{3}{4}$（均满足 $a<1$，有两个极值点）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参三次函数的单调性；极值点与韦达定理；直线与曲线的交点

核心方法：判别式分类 → $f^{\prime }=0$ 降次求连线方程 → 交点代入解方程

避坑指南：“极值点处的函数值”不必死算——利用 $f^{\prime }(x_i)=0$ 把 $f(x_i)$ 降次成 $x_i$ 的一次式，连线方程自动浮现；最后三种 $a$ 都要检验 $a<1$（有两个极值点的前提）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数极值点连线问题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 21 题（导数极值与切线截距）、2013 年大纲卷文第 21 题同族。

结论推广：一般地，$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+p{x}^2+qx$ 的两极值点满足 $x_1+x_2=-2p$，$x_1{x}_2=q$，且两极值点的纵坐标都是 $x$ 的一次式（可整体降次）。

方法推广：“极值点处的函数值”优先用 $f^{\prime }=0$ 降次，把高次化为一次，两点连线方程自然出现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距
• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立