2019-全国卷III理-20 解-导数零点

本题导读

本题考查导数的计算与导函数的零点。核心在于导数分析法、分类讨论思想的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）已知函数 $f(x)=2x^3-a{x}^2+b$。

(1)讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2)是否存在 $a,b$，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 -1 且最大值为 1？若存在，求出 $a,b$ 的所有值；若不存在，说明理由。

🔍【思路分析】

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1. 第一问 (单调性)：

• 求出 $f^{\prime }(x)=6x^2-2ax=6x(x-\frac{a}{3})$。
• 导函数的零点为 $x_1=0,x_2=\frac{a}{3}$。
• 根据 $a$ 的正负和大小（即 $\frac{a}{3}$ 与 $0$ 的相对位置）进行分类讨论。

2. 第二问 (最值存在性)：

• 在区间 $[0,1]$ 上，函数的最值只可能在端点 ($0,1$) 或极值点 ($\frac{a}{3}$) 处取得。
• 需根据 $\frac{a}{3}$ 相对于区间 $[0,1]$ 的位置进行讨论：
  • $a\le 0$：函数在 $[0,1]$ 单调递增。
  • $0<a<3$：极小值点 $\frac{a}{3}$ 在区间内，需比较 $f(0)$ 与 $f(1)$ 确定最大值。
  • $a\ge 3$：函数在 $[0,1]$ 包含单调递减部分或全程递减。

✅【答案】

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(1)当 $a⩽0$ 时 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 和 $(\frac{2a}{3},+\infty )$ 上单调递增，在 $(0,\frac{2a}{3})$ 上单调递减。

(2)存在，$a=0,b=-1$ 或 $a=4,b=1$。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】 (1)$f^{\prime }(x)=6x^2-2ax=6x(x-\frac{a}{3})$。

• 当 $a<0$ 时，$\frac{a}{3}<0$。 $x\in (-\infty ,\frac{a}{3})$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$x\in (\frac{a}{3},0)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$x\in (0,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。 $\therefore f(x)$ 在 $(-\infty ,\frac{a}{3})$ 和 $(0,+\infty )$ 单调递增，在 $(\frac{a}{3},0)$ 单调递减。

• 当 $a=0$ 时，$f^{\prime }(x)=6x^2\ge 0$。 $\therefore f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调递增。

• 当 $a>0$ 时，$\frac{a}{3}>0$。 $x\in (-\infty ,0)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$x\in (0,\frac{a}{3})$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$x\in (\frac{a}{3},+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。 $\therefore f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 和 $(\frac{a}{3},+\infty )$ 单调递增，在 $(0,\frac{a}{3})$ 单调递减。

(2)解： ① 若 $a\le 0$，由(1)知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 单调递增。 则 $f(0)=b=-1$，$f(1)=2-a+b=1$。 解得 $b=-1,a=0$。符合 $a\le 0$。

② 若 $a\ge 3$，则 $\frac{a}{3}\ge 1$。由(1)知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 单调递减。 则 $f(0)=b=1$，$f(1)=2-a+b=-1$。 解得 $b=1,a=4$。符合 $a\ge 3$。

③ 若 $0<a<3$，则 $0<\frac{a}{3}<1$。 由(1)知 $f(x)$ 在 $(0,\frac{a}{3})$ 递减，在 $(\frac{a}{3},1)$ 递增。 最小值必为 $f(\frac{a}{3})=2(\frac{a}{3}{)}^3-a(\frac{a}{3}{)}^2+b=b-\frac{a^3}{27}=-1$。 最大值为 $f(0)=b$ 与 $f(1)=2-a+b$ 中的较大者。

• 若 $b\ge 2-a+b$（即 $a\ge 2$），则 $b=1$。 代入得 $1-\frac{a^3}{27}=-1⟹a^3=54⟹a=3\sqrt[3]{2}$。 由于 $3\sqrt[3]{2}>3$，与 $a<3$ 矛盾，舍去。
• 若 $b<2-a+b$（即 $a<2$），则 $2-a+b=1⟹b=a-1$。 代入得 $a-1-\frac{a^3}{27}=-1⟹a(1-\frac{a^2}{27})=0$。 因 $a>0$，得 $a^2=27⟹a=3\sqrt{3}>2$，矛盾，舍去。

综上所述，存在符合条件的 $a,b$，其值为： $\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分类讨论的界限：本题的关键点在于识别 $\frac{a}{3}$ 的位置。它不仅决定了单调区间的分布，还决定了区间 $[0,1]$ 内是否存在极值点。
2. 端点值的比较：在极小值点位于区间内部时，最大值必须通过比较两端点 $f(0)$ 和 $f(1)$ 来确定。
3. 计算冗余的剔除：通过对方程的初步观察（如 $a^3=54$），可以快速判定其是否在讨论范围内，从而节省时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理三次函数 $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 在 $[m,n]$ 上的通用步骤：

• 求导定零点：求出 $f^{\prime }(x)=0$ 的两个根 $x_1,x_2$。
• 分布讨论：讨论零点相对于区间 $[m,n]$ 的位置（在左侧、内部、还是右侧）。
• 列表对标：列出所有可能的“候选最值点”（端点和落在区间内的极值点）。
• 代入验证：将求得的参数代入原始约束条件，检查逻辑严谨性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-20 解-三次函数零点与区间最值
• 2014-江西卷文-18 解-导数最值
• 2008-大纲卷II文-21 解-三次函数极值与最值恒成立