2019-北京卷文-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的运算，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）已知复数 $z=2+\mathrm{i}$，则 $z\cdot \bar{z}=$ ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 写出复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$。
2. 利用复数乘法公式 $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$ 计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z=2+\mathrm{i}$，所以其共轭复数 $\bar{z}=2-\mathrm{i}$。 则 $z\cdot \bar{z}=(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})=2^2-{\mathrm{i}}^2=4-(-1)=5$。 故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘法、共轭复数。
2. 核心方法：公式直接代入。
3. 避坑指南：注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第2题。
2. 结论推广: 若 $z=a+bi$，则 $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2$。

🔗【关联脉络】

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