2019-北京卷文-11 填-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的焦点与准线，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$. 则以 $F$ 为圆心，且与 $l$ 相切的圆的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据抛物线方程求出其焦点 $F$ 的坐标及准线 $l$ 的方程。
2. 圆以 $F$ 为圆心且与准线 $l$ 相切，圆的半径 $R$ 即为焦点到准线的距离（即 $p$）。
3. 写出圆的标准方程。

✅【答案】

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$(x-1{)}^2+y^2=4$.

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $y^2=4x$ 可知，$2p=4⟹p=2⟹\frac{p}{2}=1$. 故焦点 $F(1,0)$，准线方程为 $l:x=-1$. 以 $F$ 为圆心且与准线 $l$ 相切的圆，其半径 $R$ 等于焦点到准线的距离，即 $R=1-(-1)=2$. 因此，该圆的标准方程为 $(x-1{)}^2+y^2=2^2$，即 $(x-1{)}^2+y^2=4$. 故答案为：$(x-1{)}^2+y^2=4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线几何性质、圆的方程。
2. 核心方法：数形结合与定义法。
3. 避坑指南：明确圆心到准线的距离即为焦准距 $p$（此处为 2），切勿误认为是 $\frac{p}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第11题。
2. 结论推广: 圆锥曲线中几何量之间的转化关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2008-湖南卷文-19 解-椭圆准线与对称点
• 2012-湖南卷文-21 解-椭圆方程与双切线