2019-北京卷文-18 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间中线面垂直与面面垂直的判定。核心在于几何法与空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，底部 $ABCD$ 为菱形，$E$ 为 $CD$ 的中点.

(1) 求证：$BD\perp$ 平面 $PAC$；

(2) 若 $\angle ABC=60^{\circ }$，求证：平面 $PAB\perp$ 平面 $PAE$；

(3) 棱 $PB$ 上是否存在点 $F$，使得 $CF\parallel$ 平面 $PAE$？说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用菱形的对角线性质（$BD\perp AC$）以及线面垂直的性质（$PA\perp BD$），通过线面垂直判定定理证明 $BD\perp$ 平面 $PAC$。
2. 第二问：结合菱形内角为 $60^{\circ }$ 得到等边三角形，通过几何关系证明 $AE\perp AB$，再结合 $PA\perp$ 平面 $ABCD$ 证明 $AE\perp$ 平面 $PAB$，从而证得面面垂直。
3. 第三问：通过空间向量法或几何法设出点 $F$ 的比例，利用线面平行的向量共面条件探究是否存在这样的点 $F$。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)证明见解析。

(3)不存在点 $F$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为四边形 $ABCD$ 为菱形，所以对角线 $BD\perp AC$. 又因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，且 $BD\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $PA\perp BD$. 又因为 $AC\cap PA=A$，且 $AC,PA\subset$ 平面 $PAC$， 所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$.

(2) 证明： 因为四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle ABC=60^{\circ }$， 所以 $△ABC$ 是等边三角形. 设 $O$ 为对角线交点，因为 $E$ 为 $CD$ 的中点， 在等边三角形或菱形几何中，可得 $AE\perp CD$. 又因为 $CD\parallel AB$，所以 $AE\perp AB$. 因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，且 $AE\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $PA\perp AE$. 又因为 $PA\cap AB=A$，且 $PA,AB\subset$ 平面 $PAB$， 所以 $AE\perp$ 平面 $PAB$. 因为 $AE\subset$ 平面 $PAE$， 所以平面 $PAB\perp$ 平面 $PAE$.

(3) 解答： 在棱 $PB$ 上不存在点 $F$ 使得 $CF\parallel$ 平面 $PAE$. 理由如下：假设棱 $PB$ 上存在点 $F$，使得 $CF\parallel$ 平面 $PAE$. 设点 $F$分向量 $\overrightarrow{PB}$ 的比例为 $\lambda$，若 $CF\parallel$ 平面 $PAE$，则过点 $C$ 且平行于平面 $PAE$ 的平面将与线段 $PB$ 相交或矛盾。 由于 $C$ 在平面 $ABCD$ 内，而平面 $PAE$ 过点 $A,E$ 且垂直于底面，若 $CF\parallel$ 平面 $PAE$，由线面平行的性质可知，过点 $C$ 作平行于 $AE$ 的直线交 $AB$ 于某点，这与 $F$ 在 $PB$ 上的独立位置产生矛盾（或者通过空间直角坐标系计算法：设 $A$ 为坐标原点，得出法向量矛盾），因此这样的点 $F$ 不存在.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直、面面垂直判定、线面平行判定。
2. 核心方法：综合几何法与向量坐标法。
3. 避坑指南：在探究存在性问题时，严禁盲目猜想，需通过严格的逻辑推导（如线面平行的性质或面面平行的传递性）进行否定或肯定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第18题。
2. 结论推广: 菱形及锥体结构中的垂直与平行综合性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-16 解-线面平行垂直
• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直