2019-北京卷理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划问题，以及含有绝对值的不等式组。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）若 $x,y$ 满足 $|x|\le 1-y$，且 $y\ge -1$，则 $3x+y$ 的最大值为()

A. $-7$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $7$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化约束条件：

   $|x|\le 1-y$ 可以去绝对值转化为双边不等式：

   $-(1-y)\le x\le 1-y⟹y-1\le x\le 1-y$

   配合 $y\ge -1$，写出完整的不等式组：

   $\{\begin{array}{l}x+y\le 1\\ x-y\ge -1\\ y\ge -1\end{array}$

2. 绘制可行域：

   在平面直角坐标系中画出上述三个不等式确定的区域（通常是一个三角形区域）。

3. 平移目标函数：

   设 $z=3x+y$，变形为 $y=-3x+z$。$z$ 的几何意义是直线在 $y$ 轴上的截距。

   通过平移斜率为 $-3$ 的直线，寻找使截距 $z$ 最大的顶点。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 确定可行域的顶点：

   • 由 $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=-1\end{array}$ 得交点 $A(0,1)$；

   • 由 $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ y=-1\end{array}$ 得交点 $B(2,-1)$；

   • 由 $\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ y=-1\end{array}$ 得交点 $C(-2,-1)$。

     可行域是以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域及其内部。

2. 代入目标函数 $z=3x+y$：

   • 代入 $A(0,1)$：$z=3\times 0+1=1$；

   • 代入 $B(2,-1)$：$z=3\times 2-1=5$；

   • 代入 $C(-2,-1)$：$z=3\times (-2)-1=-7$。

3. 比较结果：

   比较可知，最大值为 $5$。

   故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 绝对值不等式的处理： $|x|\le a⟺-a\le x\le a$ 是将非线性约束转化为线性约束的关键。

2. 目标函数的斜率判断： 目标函数 $y=-3x+z$ 的斜率为 $-3$，而可行域边界 $x+y=1$ 的斜率为 $-1$。因为 $-3<-1$，所以直线比边界更“陡峭”，平移时会先经过 $A$ 再经过 $B$，故在 $B$ 点取得最大值。

3. 计算陷阱： 注意题目问的是“最大值”还是“最小值”，同时在解方程组求顶点坐标时务必细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

线性规划在实际生产生活中应用广泛，如：

1. 资源利用问题： 在已知原材料、工时限制下，如何排产使利润最大化。

2. 营养配比问题： 在满足最低营养需求的前提下，如何组合食品使成本最低。

3. 北京卷命题趋势： 近年来北京卷逐渐淡化纯计算的线性规划，转向考查可行域的动态变化或与实际应用场景（如物流、环保）相结合的建模能力。

第 5 题录入完成！这道题是线性规划的经典题型。

接下来录入第 6 题吗？（通常涉及向量、排列组合或函数图像判定）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-13 填-简单的线性规划问题
• 2014-山东卷理-09 单-简单的线性规划问题
• 2004-全国卷IV理-16 填-简单的线性规划问题