2019-北京卷理-12 填-空间位置关系

本题导读

本题考查空间直线与平面的位置关系，以及直线与平面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）已知 $l,m$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：

① $l\perp m$；② $m\parallel \alpha$；③ $l\perp \alpha$．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解结构：

   题目要求构造一个形式为“若 $P,Q$，则 $R$”的真命题。我们需要对 ①②③ 进行排列组合并逐一验证。

2. 场景模拟：

   可以利用“长方体”或“教室墙面与地面”作为模型进行直观判定。

   • 组合 A (②③ $⟹$ ①)：若一条直线垂直于平面，另一条直线平行于该平面，这两条直线的位置关系如何？

   • 组合 B (①③ $⟹$ ②)：若直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$，且直线 $m$ 垂直于 $l$，那么 $m$ 与平面 $\alpha$ 的关系？

   • 组合 C (①② $⟹$ ③)：若 $l\perp m$ 且 $m\parallel \alpha$，能否推出 $l\perp \alpha$？

✅【答案】

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②③ $⟹$ ① （或 ①③ $⟹$ ②）

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 ②③ $⟹$ ① （或 ①③ $⟹$ ②）

(注：填空题写出其中一种正确形式即可，如“若 $m\parallel \alpha$，$l\perp \alpha$，则 $l\perp m$”)

【解析过程】

1. 验证 ②③ $⟹$ ①：

   • 条件：$m\parallel \alpha$，$l\perp \alpha$。

   • 推导：因为 $m\parallel \alpha$，所以在平面 $\alpha$ 内一定存在一条直线 $n$，使得 $n\parallel m$。又因为 $l\perp \alpha$，根据线面垂直的性质，直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线，故 $l\perp n$。由平行线的传递性可得 $l\perp m$。

   • 结论：命题为真。

2. 验证 ①③ $⟹$ ②：

   • 条件：$l\perp m$，$l\perp \alpha$。

   • 推导：由 $l\perp \alpha$ 可知 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内的所有直线。若 $m$ 与 $l$ 垂直，则 $m$ 可能平行于 $\alpha$，也可能在 $\alpha$ 内。但题目已知 $m$ 是平面 $\alpha$ 外的直线，故 $m\parallel \alpha$。

   • 结论：命题为真。

3. 验证 ①② $⟹$ ③：

   • 条件：$l\perp m$，$m\parallel \alpha$。

   • 反例：想象地面 $\alpha$，天花板上的灯管 $m$ 平行于地面。垂直于灯管 $m$ 的直线 $l$ 可以是水平的（平行于地面），也可以是倾斜的，不一定要垂直于地面。

   • 结论：命题为假。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 线面垂直的性质： $l\perp \alpha ⟹l$ 垂直于 $\alpha$ 内任意直线。这是此类题目最高频的切入点。

2. 限定条件的重要性： 题目强调 $l,m$ 是平面 $\alpha$ 外的直线。如果没有这个条件，②③ $⟹$ ① 依然成立，但 ①③ $⟹$ ② 可能会包含 $m\subset \alpha$ 的情况。

3. 模型法： 在草稿纸上画一个长方体，将棱看作直线，面看作平面，能极快地排除错误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 垂直之源： 线面垂直是线线垂直的“母体”。

2. 平行转换： 线线平行可以转化为线面平行。

3. 唯一性： 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面。

4. 传递性： 垂直不具传递性（垂直的垂直往往是平行），但平行具有传递性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-新课标II卷理-04 单-线面垂直的性质
• 2013-新课标II卷理-18 解-线面平行