2019-天津卷文-19 解-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法、几何法与坐标法结合的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左焦点为 $F$，左顶点为 $A$，上顶点为 $B$。已知 $\sqrt{3}|OA|=2|OB|$ ($O$ 为原点)。

(1)求椭圆的离心率；

(2)设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $OC\parallel AP$，求椭圆的方程。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问根据顶点坐标及原点距离关系，结合 $|OA|=a,|OB|=b$，代入 $\sqrt{3}|OA|=2|OB|$ 得到 $a,b$ 的关系，进而求出离心率 $e$。
2. 第二问先写出直线 $l$ 的方程，求出交点 $P$ 的坐标。利用圆心 $C$ 在 $x=4$ 上及 $OC\parallel AP$ 求出圆心坐标和半径，再利用圆与直线 $l$、 $x$ 轴相切建立方程求出参数，最后确定椭圆方程。

✅【答案】

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(1)离心率为 $\frac{1}{2}$。

(2)椭圆方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)由椭圆方程知，左顶点 $A(-a,0)$，上顶点 $B(0,b)$。 所以 $|OA|=a$，$|OB|=b$。 已知 $\sqrt{3}|OA|=2|OB|$，即 $\sqrt{3}a=2b$，两边平方得 $3a^2=4b^2$。 因为 $b^2=a^2-c^2$，代入上式得： $3a^2=4(a^2-c^2)⟹3a^2=4a^2-4c^2⟹4c^2=a^2⟹\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{4}$。 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。

(2)由 $e=\frac{1}{2}$ 可设 $a=2c,b=\sqrt{3}c$。 左焦点 $F(-c,0)$，直线 $l$ 过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$，其方程为： $y=\frac{3}{4}(x+c)⟹3x-4y+3c=0$。 椭圆方程可写为 $\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1⟹3x^2+4y^2=12c^2$。 联立直线 $l$ 与椭圆方程： $3x^2+4{\left[\frac{3}{4}(x+c)\right]}^2=12c^2⟹3x^2+\frac{3}{4}(x^2+2cx+c^2)=12c^2$ 同乘以 $4$ 得：$12x^2+3x^2+6cx+3c^2=48c^2⟹15x^2+6cx-45c^2=0$ 化简得 $5x^2+2cx-15c^2=0⟹(x-c)(5x+15c)=0⟹(x-c)(x+3c)=0$。 解得 $x=c$ 或 $x=-3c$。 因为交点 $P$ 在 $x$ 轴上方（$y>0$），当 $x=c$ 时，$y=\frac{3}{4}(c+c)=\frac{3}{2}c>0$。 所以点 $P$ 的坐标为 $\left(c,\frac{3}{2}c\right)$。 左顶点 $A(-2c,0)$，向量 $\overrightarrow{AP}=P-A=\left(c-(-2c),\frac{3}{2}c-0\right)=\left(3c,\frac{3}{2}c\right)$。 直线 $AP$ 的斜率为 $\frac{\frac{3}{2}c}{3c}=\frac{1}{2}$。 因为 $OC\parallel AP$，所以直线 $OC$ 的斜率也为 $\frac{1}{2}$。 又圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，设 $C(4,y_0)$，则直线 $OC$ 的斜率为 $\frac{y_0}{4}=\frac{1}{2}⟹y_0=2$， 故圆心 $C$ 的坐标为 $(4,2)$。 因为圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$（$3x-4y+3c=0$）相切： 半径 $R$ 等于圆心到 $x$ 轴的距离，即 $R=y_0=2$。 同时，圆心到直线 $l$ 的距离也等于半径 $R=2$： $\frac{|3(4)-4(2)+3c|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=2⟹\frac{|12-8+3c|}{5}=2⟹|4+3c|=10$。 解得 $4+3c=10⟹3c=6⟹c=2$（另一解 $4+3c=-10⟹c=-\frac{14}{3}$ 舍去）。 当 $c=2$ 时，$a=2c=4$，$b=\sqrt{3}c=2\sqrt{3}$。 椭圆方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程求解、直线与圆相切、向量平行与斜率。
2. 核心方法：设出基本量 $a,b,c$ 建立方程组求解。
3. 避坑指南：处理含参数的直线与圆锥曲线交点时，注意利用整体设参或比例化简，避免计算繁琐。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线解答题压轴题标准题型。
2. 结论推广: 熟练掌握点到直线距离公式及圆的切线性质是解决此类几代综合题的核心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程