2019-江苏卷-05 填-平均数

本题导读

本题考查算术平均数，以及样本方差公式。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求平均数 $\bar{x}$：将所有数据求和，除以数据的个数 $n=6$。
2. 求离均差平方和：计算每个数值与平均数之差的平方，并将这些平方值相加。
3. 计算方差 $s^2$：将离均差平方和除以数据个数 $n$（在高中基础统计中通常指总体方差或样本方差的简易公式）。

✅【答案】

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$\frac{5}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{5}{3}$

【解析过程】

1. 计算平均数： $\bar{x}=\frac{6+7+8+8+9+10}{6}=\frac{48}{6}=8$
2. 计算方差： 根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$ 得： $s^2=\frac{1}{6}\left[(6-8{)}^2+(7-8{)}^2+(8-8{)}^2+(8-8{)}^2+(9-8{)}^2+(10-8{)}^2\right]$ $s^2=\frac{1}{6}\left[(-2{)}^2+(-1{)}^2+0^2+0^2+1^2+2^2\right]$ $s^2=\frac{1}{6}(4+1+0+0+1+4)$ $s^2=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

故填：$\frac{5}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 方差的数学意义：方差用于衡量一组数据的离散程度（波动大小）。方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。
2. 计算陷阱：

• 漏项：数据中有两个“8”，计算时必须两个都计入，不能合并或漏掉。
• 分母混淆：在标准样本方差中分母有时为 $n-1$，但在高中数学教材的标准公式和高考评分准则中，方差的分母统一使用 $n$。

3. 计算技巧：若数据较大，可以同时减去一个接近平均数的常数（线性变换），变换后新数据的方差与原数据方差相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记录下这个高频结论： 若原数据为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，新数据为 $y_i=a{x}_i+b$（$a,b$ 为常数），则：

• 新平均数：$\bar{y}=a\bar{x}+b$
• 新方差：$s_y^2=a^2{s}_x^2$
• 新标准差：$s_y=|a|s_x$ 例如：若本题数据全部增加 10，方差依然是 $\frac{5}{3}$；若全部扩大 2 倍，方差则变为 $4\times \frac{5}{3}=\frac{20}{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差
• 2013-江苏卷-06 填-平均数