2019-江苏卷-08 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前 n 项和公式。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）已知数列 $\{a_n\}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 是等差数列，$S_n$ 是其前 $n$ 项和。若 $a_2{a}_5+a_8=0$，$S_9=27$，则 $S_8$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用求和性质简化：由 $S_9=27$，利用等差数列求和公式的对称性 $S_9=9a_5$（或通过 $9a_1+36d=27$），可直接求得中间项 $a_5$ 的值。
2. 建立方程求解公差：将 $a_2,a_5,a_8$ 全部转化为关于 $a_5$ 和公差 $d$ 的表达式，代入已知等式 $a_2{a}_5+a_8=0$ 中，求出 $d$。
3. 计算目标和：得到 $a_1$ 和 $d$（或利用 $S_8=S_9-a_9$）后，计算 $S_8$ 的结果。

✅【答案】

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$16$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $16$

【解析过程】 在等差数列 $\{a_n\}$ 中： 由 $S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5=27$， 得 $a_5=3$。 根据等差数列通项性质，设公差为 $d$，则： $a_2=a_5-3d=3-3d$ $a_8=a_5+3d=3+3d$ 代入已知条件 $a_2{a}_5+a_8=0$： $(3-3d)\cdot 3+(3+3d)=0$ $9-9d+3+3d=0$ $12-6d=0⟹d=2$ 由此可得： $a_9=a_5+4d=3+4\times 2=11$ 则 $S_8=S_9-a_9=27-11=16$。

故填：$16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对称性的妙用：在等差数列中，若项数 $n$ 为奇数，则 $S_n=n\cdot a_{mid}$。本题由 $S_9$ 直接快速求解 $a_5$，比列 $a_1,d$ 方程组要快得多。
2. 基本量法的灵活性：虽然 $a_1,d$ 是基本量，但在已知中间项时，以中间项（如 $a_5$）作为参照点来表示其他项，往往能抵消公差项，简化运算。
3. 计算顺序：求 $S_8$ 最快的方法是“整体减局部”，即 $S_9-a_9$，而不是重新代入公式计算 $S_8=8a_1+28d$，这样可以减少计算步骤，降低出错率。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，建议收录以下快速结论：

• 奇数项和：$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$（如 $S_3=3a_2,S_5=5a_3,S_7=7a_4$）。
• 等间隔项：若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。
• 项和转化：$a_n=S_n-S_{n-1}$。在求 $S_{n-1}$ 时，若已知 $S_n$，求出 $a_n$ 即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和