2020-上海卷-14 单-直线方向向量

本题导读

本题考查直线的参数方程，以及直线的普通方程与参数方程的互化。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知直线方程 $3x+4y+1=0$ 的一个参数方程可以是（ ）

A. $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-1-4t\end{array}$ ($t$ 为参数)

B. $\{\begin{array}{l}x=1-4t\\ y=-1+3t\end{array}$ ($t$ 为参数)

C. $\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=-1+4t\end{array}$ ($t$ 为参数)

D. $\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=1-3t\end{array}$ ($t$ 为参数)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 点检验：参数方程中的常数项 $(x_0,y_0)$ 对应 $t=0$ 时直线上的一个点。首先代入 $(x_0,y_0)$ 到普通方程 $3x+4y+1=0$ 中，看是否满足。
2. 斜率/方向向量检验：

• 普通方程 $3x+4y+1=0$ 的斜率 $k=-\frac{3}{4}$。
• 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ 的方向向量为 $\vec{v}=(a,b)$，其斜率 $k=\frac{b}{a}$。
• 比较两者斜率是否相等。

3. 消参验证：也可以直接通过 $t=\frac{x-x_0}{a}$ 代入 $y$ 的表达式进行还原验证。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：检验过定点 观察各选项的常数项：

• A, B, C 选项对应的定点均为 $(1,-1)$。代入原方程：$3(1)+4(-1)+1=3-4+1=0$。点满足。
• D 选项对应的定点为 $(1,1)$。代入原方程：$3(1)+4(1)+1=8\ne 0$。点不满足，排除 D。

第二步：检验方向向量（斜率） 原直线 $3x+4y+1=0$ 的斜率为 $k=-\frac{3}{4}$。

• 选项 A：方向向量为 $(3,-4)$，斜率 $k_A=\frac{-4}{3}\ne -\frac{3}{4}$。排除 A。

• 选项 B：方向向量为 $(-4,3)$，斜率 $k_B=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$。符合条件。

• 选项 C：方向向量为 $(-3,4)$，斜率 $k_C=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}\ne -\frac{3}{4}$。排除 C。

第三步：消参验证 B 选项 由 $\{\begin{array}{l}x=1-4t⟹t=\frac{1-x}{4}\\ y=-1+3t\end{array}$ 代入得：$y=-1+3(\frac{1-x}{4})$ $4y=-4+3-3x⟹3x+4y+1=0$。 结论成立。

最终答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数方程的形式：直线参数方程不唯一，只要给出的点在直线上，且方向向量与直线平行即可。
2. 方向向量关系：若直线方程为 $Ax+By+C=0$，则其一个方向向量为 $(-B,A)$ 或 $(B,-A)$。本题中 $A=3,B=4$，故方向向量可以是 $(-4,3)$。
3. 快速技巧：做选择题时，先看点（常数项），再看比例（$t$ 的系数比是否等于 $-A/B$ 的倒数或直接计算斜率）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 对于直线 $Ax+By+C=0$，其参数方程的一般形式可写为 $\{\begin{array}{l}x=x_0-Bt\\ y=y_0+At\end{array}$，其中 $(x_0,y_0)$ 是直线上任意一点。
• 方法的推广:
  • 方向向量法：不仅适用于直线，在空间解析几何中，确定空间直线方程也必须依靠点和方向向量。
• 相关知识点:
  • 法向量：直线 $Ax+By+C=0$ 的法向量为 $\vec{n}=(A,B)$。法向量与方向向量垂直（数量积为 0）。
  • 参数方程的物理意义：若参数 $t$ 的系数平方和为 1（即方向向量为单位向量），则 $|t|$ 表示动点到定点的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-09 填-直线参数方程
• 2014-重庆卷理-15 填-直线参数方程
• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程