2020-全国卷I理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的乘法与乘方运算，以及复数的减法运算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）1. 若 $z=1+i$，则 $|z^2-2z|=$（ ）

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

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方法一：直接代入法 先计算 $z^2$，再计算 $z^2-2z$，最后求模。 注意常用结论：$(1\pm i{)}^2=\pm 2i$。

方法二：因式分解法（更高效） 观察式子 $|z^2-2z|=|z(z-2)|$。 根据复数模的性质 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$，可以分别求 $|z|$ 和 $|z-2|$ 再相乘。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 （采用直接代入法）： 已知 $z=1+i$， 首先计算 $z^2$： $z^2=(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$ 接着计算 $z^2-2z$： $z^2-2z=2i-2(1+i)=2i-2-2i=-2$ 最后求模： $|z^2-2z|=|-2|=2$

（采用因式分解法）： $|z^2-2z|=|z|\cdot |z-2|$ 因为 $z=1+i$，则 $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 $z-2=1+i-2=-1+i$，则 $|z-2|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}$。 故 $|z^2-2z|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 特殊复数幂： $(1+i{)}^2=2i$ 和 $(1-i{)}^2=-2i$ 是高频考点，建议直接记忆以节省计算时间。
• 模的性质： $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ 以及 $|z^n|=|z{|}^n$ 在处理复杂复数模的问题时非常强大。
• 实数的模： 记住实数的模就是它的绝对值，例如 $|-2|=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. $|z|$ 的意义： 代表复平面上点 $z$ 到原点 $(0,0)$ 的距离。
2. $|z_1-z_2|$ 的意义： 代表复平面上两点 $z_1$ 与 $z_2$ 之间的距离。

• 本题中 $|z-2|$ 实际上是点 $(1,1)$ 到点 $(2,0)$ 的距离，通过勾股定理易得为 $\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集