2020-全国卷III文-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的运算，以及复数的共轭。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）若 $\bar{z}(1+\text{i})=1-\text{i}$，则 $z=$ ( )

A. $1-\text{i}$　　　　　　B. $1+\text{i}$　　　　　　C. $-\text{i}$　　　　　　D. $\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 先求出共轭复数 $\bar{z}$ 的表达式。
2. 利用复数除法法则化简 $\bar{z}$，再根据共轭关系求出 $z$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\bar{z}(1+\text{i})=1-\text{i}$，得 $\bar{z}=\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{(1-\text{i}{)}^2}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{1-2\text{i}-1}{1^2-{\text{i}}^2}=\frac{-2\text{i}}{2}=-\text{i}$。 因为 $\bar{z}=-\text{i}$，所以 $z=\overline{-\text{i}}=\text{i}$。 故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法运算、共轭复数。
2. 核心方法：分母实数化。
3. 避坑指南：计算过程中注意 ${\text{i}}^2=-1$ 的处理以及最后求 $z$ 时要再次取共轭。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第2题。
2. 结论推广: 熟练掌握复数基本运算公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集