2020-全国卷III理-12 单-指数对数互化

本题导读

本题考查对数的大小比较。核心在于中间值比较法 (引入 4/5)、作商比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）12. 已知 $5^5<8^4,13^4<8^5$。设 $a={\log }_{5}3$，$b={\log }_{8}5$，$c={\log }_{13}8$，则（ ）

A. $a<b<c$　　B. $b<a<c$　　C. $b<c<a$　　D. $d.c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 比较 $a$ 与 $b$： 利用换底公式将 $a,b$ 转化为以 10 为底的对数，观察它们的乘积或商。 $a=\frac{\lg 3}{\lg 5},b=\frac{\lg 5}{\lg 8}$ 利用均值不等式 $\lg 3\cdot \lg 8<(\frac{\lg 3+\lg 8}{2}{)}^2=(\frac{\lg 24}{2}{)}^2$ 来辅助判断。

2. 寻找“桥梁”数值： 注意题目给出的暗示条件：

• $5^5<8^4⟹{\log }_8{5}^5<{\log }_8{8}^4⟹5{\log }_{8}5<4⟹b<\frac{4}{5}$。
• $13^4<8^5⟹{\log }_{13}13^4<{\log }_{13}{8}^5⟹4<5{\log }_{13}8⟹c>\frac{4}{5}$。 由此可直接确定 $b<c$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 利用已知条件确定 $b$ 与 $c$ 的范围：

• 由 $5^5<8^4$，两边取以 8 为底的对数： ${\log }_8{5}^5<{\log }_8{8}^4⟹5{\log }_{8}5<4⟹b<\frac{4}{5}$。

• 由 $13^4<8^5$，两边取以 13 为底的对数： ${\log }_{13}13^4<{\log }_{13}{8}^5⟹4<5{\log }_{13}8⟹c>\frac{4}{5}$。

• 显然得到 $b<c$。

2. 比较 $a$ 与 $b$： 使用换底公式进行作商： $\frac{a}{b}=\frac{{\log }_{5}3}{{\log }_{8}5}=\frac{\lg 3}{\lg 5}\cdot \frac{\lg 8}{\lg 5}=\frac{\lg 3\cdot \lg 8}{(\lg 5{)}^2}$。 根据基本不等式 $\sqrt{xy}<\frac{x+y}{2}$（当 $x\ne y$ 时）： $\lg 3\cdot \lg 8<{\left(\frac{\lg 3+\lg 8}{2}\right)}^2={\left(\frac{\lg 24}{2}\right)}^2$。 因为 $\lg 24<\lg 25=2\lg 5$， 所以 ${\left(\frac{\lg 24}{2}\right)}^2<{\left(\frac{2\lg 5}{2}\right)}^2=(\lg 5{)}^2$。 由此推出 $\frac{a}{b}<1$，即 $a<b$。

3. 结论： 综合得 $a<b<c$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 中间值法： 这是比较对数大小最常用的技巧。常见的中间值有 $0,1/2,1,2$ 等。本题根据题目条件灵活构造了 $4/5$。
• 题目暗示： 高考数学没有废话。题目给出的指数不等式 $5^5<8^4$ 就是在提示你利用对数定义进行转化。
• 均值不等式的妙用： 在比较 $\lg A\cdot \lg B$ 与 $(\lg C{)}^2$ 时，若 $A\cdot B<C^2$，通常利用均值不等式进行放缩。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果在考场上时间紧迫，可以尝试取近似值（估算法）： $\lg 2\approx 0.301,\lg 3\approx 0.477,\lg 5\approx 0.699,\lg 8\approx 0.903$。 $a=\frac{0.477}{0.699}\approx 0.68$ $b=\frac{0.699}{0.903}\approx 0.77$ $c={\log }_{13}8\approx \frac{0.903}{1.11}\approx 0.81$ 通过估算也可以得出 $a<b<c$ 的趋势，帮助快速锁定选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-09 单-指数对数互化最值
• 2010-辽宁卷文-10 单-指对互化换底
• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值