2020-全国卷III理-20 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率公式。核心在于几何转化法 (旋转与全等)、分类讨论法 (对称点处理)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）20. 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{m^2}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$，$A$，$B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点。

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|BP|=|BQ|$，$BP\perp BQ$，求 $△APQ$ 的面积。

🔍【思路分析】

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（1）基础求方程： 利用 $a=5$ 和离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 建立等式求出 $m$。

（2）几何模型转化：

• 条件识别： $|BP|=|BQ|$ 且 $BP\perp BQ$ 构成等腰直角 $△PBQ$。

• 模型构造： 这种“垂直且相等”的结构在坐标系中最适合构造全等直角三角形（即“一线三直角”或“K字模型”）。

• 关键结论： 过 $P,Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $M,N$。则 $△PMB\cong △BNQ$。由此可得 $P$ 的纵坐标等于 $B,Q$ 的横坐标差。

✅【答案】

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$|y_P|=|PM|=1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $C$ 的方程 由椭圆方程知 $a=5,b=m$。 离心率 $e=\sqrt{1-\frac{m^2}{25}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。 两边平方：$1-\frac{m^2}{25}=\frac{15}{16}⟹\frac{m^2}{25}=\frac{1}{16}⟹m^2=\frac{25}{16}$。 由于 $m>0$，得 $m=\frac{5}{4}$。 故椭圆 $C$ 的方程为：$\frac{x^2}{25}+\frac{16y^2}{25}=1$。

（2）求 $△APQ$ 的面积

1. 坐标预处理： $A(-5,0),B(5,0)$。直线 $l:x=6$。设 $Q(6,y_Q),P(x_P,y_P)$。 过 $P$ 作 $PM\perp x$轴于 $M$，过 $Q$ 作 $QN\perp x$轴于 $N(6,0)$。

2. 利用全等确定坐标： 在 $Rt△PMB$ 与 $Rt△BNQ$ 中，因为 $BP\perp BQ,|BP|=|BQ|$： $△PMB\cong △BNQ⟹|PM|=|BN|$ 且 $|MB|=|NQ|$。 因为 $|BN|=|6-5|=1$，所以 $|y_P|=|PM|=1$。 将 $y_P^2=1$ 代入椭圆方程：$\frac{x_P^2}{25}+\frac{16}{25}=1⟹x_P^2=9⟹x_P=\pm 3$。

• 情况A： 若 $P(3,1)$。则 $|MB|=|5-3|=2$，故 $|NQ|=2⟹Q(6,2)$。

• 情况B： 若 $P(-3,1)$。则 $|MB|=|5-(-3)|=8$，故 $|NQ|=8⟹Q(6,8)$。 (注：根据对称性，$y_P=-1$ 时面积结果相同，此处取 $y_P=1$ 讨论)

5. 面积计算（以情况A为例）： $A(-5,0),P(3,1),Q(6,2)$。 直线 $AQ$ 方程：$\frac{y-0}{2-0}=\frac{x+5}{6+5}⟹2x-11y+10=0$。 $|AQ|=\sqrt{(6+5{)}^2+2^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$。 $P$ 到 $AQ$ 距离 $d=\frac{|2(3)-11(1)+10|}{\sqrt{2^2+11^2}}=\frac{5}{\sqrt{125}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。 $S=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5}{2}$。 (情况B代入计算结果同样为 $\frac{5}{2}$)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何直观胜于繁琐代数： 很多考生会设 $Q(6,t)$ 然利用 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BQ}=0$ 和距离公式联立，这样会产生大量的根号和高次方程。利用全等三角形直接锁定坐标是此类“等腰直角”问题的快速求解技。
• 离心率的隐含范围： 第一问中 $0<m<5$ 保证了椭圆焦点在 $x$ 轴上，若 $m>5$ 则离心率公式需更换。

📖【试题探源与推广】

Tip

在解析几何中，凡是遇到相互垂直且相等的线段（如正方形的边、等腰直角三角形的腰），通常过端点向坐标轴作垂线。

• 结论： 形成的两个直角三角形全等。
• 应用： 可以直接将一个点的坐标增量（$\Delta x,\Delta y$）转化为另一个点的坐标增量，实现“坐标漂移”。

本题中 $P$ 点有四个可能位置（关于 $x$ 轴和原点对称分布）。

• 思考： 为什么最后面积都一样？
• 本质： 点 $Q$ 随 $P$ 的变化而变化，且整个几何结构受限于直线 $x=6$ 和椭圆的对称性。在考场上，若计算出第一种情况为 $5/2$，对于选填题可直接确定答案；对于大题，建议至少简述另一种情况以保证逻辑严密。

在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中：

• 离心率 $e$ 越大，椭圆越“扁”；$e$ 越接近 0，椭圆越接近圆。
• 若直线与椭圆相切，联立方程后 $\Delta =0$ 是常规路径，但对于过顶点的特殊切线，直接使用几何性质往往更快。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积
• 2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆
• 2011-陕西卷文-17 解-椭圆方程与弦中点